《2025年学典四川九年级数学全一册北师大版》

1. 下列是矩形与菱形都具有的性质是(D)
A.各角都相等
B.各边都相等
C.对角线相等
D.有两条对称轴

答案： D

2. 如图,将矩形 $ABCD$ 折叠,$AE$ 是折痕,点 $D$ 恰好落在 $BC$ 边上的点 $F$ 处,量得 $\angle BAF = 50^{\circ}$,那么 $\angle DEA$ 的度数为(D)

A.$40^{\circ}$
B.$50^{\circ}$
C.$60^{\circ}$
D.$70^{\circ}$

答案： D

3. 如图,矩形 $ABCD$ 的两条对角线相交于点 $O$,$\angle AOD = 60^{\circ}$,$AD = 2$,则 $AC$ 的长是(B)

A.$2$
B.$4$
C.$2\sqrt{3}$
D.$4\sqrt{3}$

答案： B

4. 如果直角三角形的面积是 $8$,斜边上的高是 $2$,那么斜边上的中线长是4。

答案： 4

5. 如图,在矩形 $ABCD$ 中,$AB = 3$,对角线 $AC$,$BD$ 相交于点 $O$,$AE$ 垂直平分 $OB$ 于点 $E$,则 $AD$ 的长为______3√3。

答案： 3√3

6. 如图,在矩形 $ABCD$ 中,$AB = 6$,$BC = 8$,$AE$ 平分 $\angle BAD$ 交 $BC$ 于点 $E$,点 $F$,$G$ 分别为 $AD$,$AE$ 的中点,则 $FG = $√10。

答案： √10

7. 如图,在 $\triangle ABC$ 中,$AD$ 是高,$CE$ 是中线,$DC = BE$,$DG \perp CE$ 于点 $G$。
(1) 求证：$G$ 是 $CE$ 的中点；
(2) 若 $\angle B = 70^{\circ}$,求 $\angle BCE$ 的度数。

答案：
(1) 证明：
连接 $DE$。
在直角三角形 $\triangle ADB$ 中，$E$ 是 $AB$ 的中点。
所以，$DE = BE = \frac{1}{2} AB$。
因为$DC = BE$，
所以，$DE = DC$。
因为$DG \perp CE$，
所以，$G$ 是 $CE$ 的中点。
(2) 因为$DE = DC$，
所以，$\angle DEC = \angle DCE$。
所以，$\angle EDB = \angle DEC + \angle DCE = 2\angle BCE$。
因为$DE = BE$，
所以，$\angle B = \angle EDB$。
所以，$\angle B = 2\angle BCE$。
因为$\angle B = 70^\circ$，
所以，$\angle BCE = 35^\circ$。

8. 如图,矩形 $ABCD$ 的对角线 $AC$,$BD$ 相交于点 $O$,$AE // BD$,$DE // AC$。求证：$OE$ 与 $AD$ 互相垂直平分。

答案： 证明：
∵四边形$ABCD$是矩形，
∴对角线$AC$、$BD$互相平分且相等，即$OA=OC=OB=OD$，故$OA=OD$。
∵$AE// BD$，$DE// AC$，
∴$AE// OD$，$DE// OA$。
∴四边形$AODE$是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）。
∵$OA=OD$，
∴平行四边形$AODE$是菱形（邻边相等的平行四边形是菱形）。
∵菱形的对角线互相垂直平分，
∴$OE$与$AD$互相垂直平分。