《2025年学典四川九年级数学全一册北师大版》

9. 在平面直角坐标系中,二次函数 $ y = x^2 + 2mx - m^2 + 1 $ 的图象与 $ y $ 轴交于点 $ A $,将点 $ A $ 向右平移4个单位长度得到点 $ B $,点 $ B $ 恰好也在该函数的图象上.
(1) 求 $ m $ 的值；
(2) 若该函数的图象经过点 $ M(-1, 1 - a) $,求 $ a $ 的值.

答案：
(1)
由二次函数 $y = x^{2} + 2mx - m^{2} + 1$，
当 $x = 0$ 时，$y = -m^{2} + 1$，
所以点 $A$ 的坐标为 $(0, -m^{2} + 1)$。
点 $A$ 向右平移 4 个单位长度得到点 $B$，
所以点 $B$ 的坐标为 $(4, -m^{2} + 1)$。
因为点 $B$ 在二次函数图象上，
所以代入 $B(4, -m^{2} + 1)$ 到 $y = x^{2} + 2mx - m^{2} + 1$，
得到：
$- m^{2} + 1 = 16 + 8m - m^{2} + 1$
化简得：
$8m = -16$
解得：
$m = -2$
(2)
由
(1) 得二次函数为 $y = x^{2} - 4x - 3$，
因为函数图象经过点 $M(-1, 1 - a)$，
代入得：
$1 - a = 1 + 4 - 3$
化简得：
$1 - a = 2$
解得：
$a = -1$

10. (1) 如图,将二次函数 $ y = x^2 - 1 $ 位于 $ x $ 轴下方的图象沿 $ x $ 轴翻折,得到一个新函数的图象(实线部分). 当新函数中函数值 $ y $ 随 $ x $ 的增大而增大时,自变量 $ x $ 的取值范围是$-1 \leq x \leq 0$ 或 $ x \geq 1$；

(2) 将抛物线平移,有一个点既在平移前的抛物线上,又在平移后的抛物线上,称这个点为“平衡点”. 现将抛物线 $ C_1: y = x^2 + 2x + 5 $ 向右平移 $ a(a ＞ 0) $ 个单位长度,向下平移3个单位长度,得到新抛物线 $ C_2 $,若点 $ (-2, b) $ 为“平衡点”,则新抛物线 $ C_2 $ 的表达式为$ y = x^2 + 1 $.

答案：
(1) $-1 \leq x \leq 0$ 或 $ x \geq 1$；
(2) $ y = x^2 + 1 $

11. 如图,抛物线 $ y = \frac{5}{6}x^2 - \frac{13}{6}x + 1 $ 分别与 $ x $ 轴、$ y $ 轴交于 $ B $,$ A $ 两点,连接 $ AB $.
(1) 以 $ AB $ 为边向上作正方形 $ ABCD $,求点 $ C $ 的坐标并判断点 $ C $ 是否在抛物线上；
(2) 将抛物线平移,平移后的抛物线的顶点为 $ P $,点 $ Q $ 为平面内一点,若以 $ A $,$ B $,$ P $,$ Q $ 为顶点的四边形是面积为5的正方形,求平移后的抛物线的表达式.

答案：
(1)
求A、B坐标：
抛物线与y轴交于A，令$x=0$，得$y=1$，则$A(0,1)$；
与x轴交于B，令$y=0$，解方程$\frac{5}{6}x^2 - \frac{13}{6}x + 1 = 0$，得$x=2$或$x=\frac{3}{5}$，结合图形取$B(2,0)$。
求点C坐标：
向量$\overrightarrow{AB}=(2,-1)$，设$D(x,y)$，$\overrightarrow{AD}=(x,y-1)$。
由$AD \perp AB$且$AD=AB$，得$\begin{cases}2x - (y-1)=0 \\ x^2 + (y-1)^2=5\end{cases}$，解得$D(1,3)$（向上作正方形，取$x=1$）。
由$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}=(1,2)$，得$C=B+\overrightarrow{BC}=(2+1,0+2)=(3,2)$。
判断C是否在抛物线上：
代入$x=3$到抛物线方程，$y=\frac{5}{6}(3)^2 - \frac{13}{6}(3) + 1=2$，与$C(3,2)$纵坐标相等，故点C在抛物线上。
点C坐标为$(3,2)$，在抛物线上。
(2)
正方形面积为5，边长为$\sqrt{5}$（$AB=\sqrt{5}$），或对角线为$\sqrt{10}$。
分情况讨论顶点$P$：
情况1：以AB为边的正方形
上方正方形顶点：$P_1(3,2)$，$P_2(1,3)$；
下方正方形顶点：$P_3(1,-2)$，$P_4(-1,-1)$。
情况2：以AP、BQ为对角线的正方形（已包含于情况1）。
平移后抛物线顶点为$P$，表达式为$y=\frac{5}{6}(x-h)^2 + k$，代入各$P$坐标：
$P(3,2)$：$y=\frac{5}{6}(x-3)^2 + 2$；
$P(1,3)$：$y=\frac{5}{6}(x-1)^2 + 3$；
$P(1,-2)$：$y=\frac{5}{6}(x-1)^2 - 2$；
$P(-1,-1)$：$y=\frac{5}{6}(x+1)^2 - 1$。
平移后抛物线表达式为：
$y=\frac{5}{6}(x-3)^2 + 2$，$y=\frac{5}{6}(x-1)^2 + 3$，$y=\frac{5}{6}(x-1)^2 - 2$，$y=\frac{5}{6}(x+1)^2 - 1$。
最终答案
(1) 点C的坐标为$\boxed{(3,2)}$，在抛物线上；
(2) 平移后的抛物线表达式为$\boxed{y=\frac{5}{6}(x-3)^2 + 2}$，$\boxed{y=\frac{5}{6}(x-1)^2 + 3}$，$\boxed{y=\frac{5}{6}(x-1)^2 - 2}$，$\boxed{y=\frac{5}{6}(x+1)^2 - 1}$。