《2025年学典四川九年级数学全一册北师大版》

9. 如图,某农场计划建造一个矩形养殖场,为充分利用现有资源,该矩形养殖场一面靠墙(墙的长度为10m),另外三面用栅栏围成,中间再用栅栏把它分成两个面积比为1:2的矩形,已知栅栏的总长度为24m,设较小矩形的宽为xm。
(1)若矩形养殖场的总面积为$ 36m^{2} $,求此时x的值；
(2)当x为多少时,矩形养殖场的总面积最大？最大总面积为多少？

答案：
(1) 设较小矩形的宽为$ x \, m $，则两个矩形的长之比为$ 1:2 $，总长$ L = 3x $（平行于墙）。垂直于墙的边长$ y = 8 - x $（由总栅栏长$ 3x + 3y = 24 $得$ x + y = 8 $）。总面积$ S = 3x(8 - x) $。
当$ S = 36 \, m^2 $时，$ 3x(8 - x) = 36 $，即$ x^2 - 8x + 12 = 0 $，解得$ x = 2 $或$ x = 6 $。
因墙长限制$ L = 3x \leq 10 $，$ x = 6 $时$ L = 18 ＞ 10 $舍去，故$ x = 2 $。
(2) $ S = -3x^2 + 24x $，对称轴$ x = 4 $。由$ L = 3x \leq 10 $得$ x \leq \frac{10}{3} $，函数在$ (0, \frac{10}{3}] $递增。
当$ x = \frac{10}{3} $时，$ S_{max} = 3 × \frac{10}{3} × (8 - \frac{10}{3}) = \frac{140}{3} \, m^2 $。
(1) $ x = 2 $；
(2) 当$ x = \frac{10}{3} $时，最大总面积为$ \frac{140}{3} \, m^2 $。

10. 已知二次函数$ y = -x^{2} - 2x + 3 $,当$ a \leq x \leq \frac{1}{2} $时,y的最小值为1,则a的值为$-1 - \sqrt{3}$。

答案： $-1 - \sqrt{3}$

11. 如图,在平面直角坐标系中,一个单位长度代表1m长。嘉嘉在点$ A(6,1) $处将沙包(看成点)抛出,其运动路线为抛物线$ C_{1}:y = a(x - 3)^{2} + 2 $的一部分,淇淇恰在点$ B(0,c) $处接住,然后跳起将沙包回传,其运动路线为抛物线$ C_{2}:y = -\frac{1}{8}x^{2} + \frac{n}{8}x + c + 1 $的一部分。
(1)写出$ C_{1} $的最高点坐标,并求a,c的值；
(2)若嘉嘉在x轴上方1m的高度上,且到点A水平距离不超过1m的范围内可以接到沙包,求符合条件的n的整数值。

答案：
(1)抛物线$C_1:y = a(x - 3)^{2} + 2$的顶点坐标为$(3,2)$，即最高点坐标为$(3,2)$。
把$A(6,1)$代入抛物线$C_1$的表达式$y = a(x - 3)^{2} + 2$得：
$1=a(6 - 3)^{2} + 2$，
$1 = 9a + 2$，
$9a=-1$，
解得$a=-\frac{1}{9}$。
所以抛物线$C_1$的表达式为$y = -\frac{1}{9}(x - 3)^{2} + 2$。
把$B(0,c)$代入$y = -\frac{1}{9}(x - 3)^{2} + 2$得：
$c = -\frac{1}{9}(0 - 3)^{2} + 2$，
$c = -1 + 2$，
解得$c = 1$。
(2)由
(1)可知$c = 1$，所以抛物线$C_2:y = -\frac{1}{8}x^{2} + \frac{n}{8}x + 2$。
嘉嘉在$x$轴上方$1m$的高度上，且到点$A$水平距离不超过$1m$的范围内可以接到沙包，即$5\leq x\leq7$时，$y = 1$。
当$x = 5$时，$y = -\frac{1}{8}×5^{2} + \frac{n}{8}×5 + 2 = 1$，
$-\frac{25}{8}+\frac{5n}{8}+2 = 1$，
$-\frac{25}{8}+\frac{5n}{8}=-1$，
$-25 + 5n = -8$，
$5n = 17$，
解得$n=\frac{17}{5}=3.4$。
当$x = 7$时，$y = -\frac{1}{8}×7^{2} + \frac{n}{8}×7 + 2 = 1$，
$-\frac{49}{8}+\frac{7n}{8}+2 = 1$，
$-\frac{49}{8}+\frac{7n}{8}=-1$，
$-49 + 7n = -8$，
$7n = 41$，
解得$n=\frac{41}{7}\approx5.86$。
所以$3.4\leq n\leq5.86$，符合条件的$n$的整数值为$4$，$5$。