《2025年学典四川九年级数学全一册北师大版》

9. 在面积为定值的一组菱形中,当菱形的一条对角线长为$4cm$时,它的另一条对角线长为$12cm$.
(1)设菱形的两条对角线的长分别为$xcm$,$ycm$,求$y关于x$的函数表达式,这个函数是反比例函数吗？如果是,指出比例系数；
(2)若其中一个菱形的一条对角线长为$6cm$,求这个菱形的边长.

答案：
(1) 菱形的面积 $S$ 可以用两条对角线的长度 $x$ 和 $y$ 来表示，即 $S = \frac{1}{2}xy$。
根据题意，当 $x = 4$ 时，$y = 12$，所以面积 $S = \frac{1}{2} × 4 × 12 = 24$ (cm²)。
因此，面积 $S$ 是一个定值 24 cm²。
将 $S$ 代入面积公式，得到：
$\frac{1}{2}xy = 24$
即：
$xy = 48$
从而 $y$ 关于 $x$ 的函数表达式为：
$y = \frac{48}{x}$
这是一个反比例函数，比例系数为 48。
(2) 若其中一个菱形的一条对角线长为 $6$ cm，即 $x = 6$，代入 $y = \frac{48}{x}$，则另一条对角线的长度为：
$y = \frac{48}{6} = 8$ (cm)
菱形的边长 $a$ 可以用两条对角线的长度来计算，公式为：
$a = \sqrt{(\frac{x}{2})^2 + (\frac{y}{2})^2}$
代入 $x = 6$ 和 $y = 8$，得到：
$a = \sqrt{(\frac{6}{2})^2 + (\frac{8}{2})^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$ (cm)
故这个菱形的边长为 5 cm。

10. 将$x = \frac{2}{3}代入反比例函数y = - \frac{1}{x}$中,所得函数值记为$y_{1}$,又将$x = y_{1} + 1代入函数y = - \frac{1}{x}$中,所得函数值记为$y_{2}$,再将$x = y_{2} + 1代入函数y = - \frac{1}{x}$中,所得函数值记为$y_{3}$,……,如此继续下去,则$y_{2025}$的值为______C.

答案： C

11. 如图,在矩形$ABCD$中,$AB = 6$,$BC = 8$,$P是BC$边上一动点,连接$AP$,过点$D作DE \perp AP于点E$,设$AP = x$,$DE = y$,求$y与x$之间的函数关系式. 在讨论中小王说$y是x$的反比例函数,你认为对吗？请说明理由.

答案： 解：
连接 $ PD $，在矩形 $ ABCD $ 中，$ AD = BC = 8 $，$ AB = 6 $。
由于 $ AD // BC $，点 $ P $ 到 $ AD $ 的距离等于 $ AB $ 的长，即 $ 6 $。
因此，$ \triangle APD $ 的面积为：
$ S_{\triangle APD} = \frac{1}{2} × AD × AB = \frac{1}{2} × 8 × 6 = 24 $
又因为 $ DE \perp AP $，所以 $ \triangle APD $ 的面积也可表示为：
$ S_{\triangle APD} = \frac{1}{2} × AP × DE = \frac{1}{2}xy $
联立两式得：
$ \frac{1}{2}xy = 24 $
化简得：
$ y = \frac{48}{x} $
由于 $ P $ 是 $ BC $ 边上的动点，$ AP $ 的最小值为 $ AB = 6 $（$ P $ 与 $ B $ 重合时），最大值为 $ AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = 10 $（$ P $ 与 $ C $ 重合时），故 $ x $ 的取值范围为 $ 6 \leq x \leq 10 $。
函数 $ y = \frac{48}{x} $ 符合反比例函数 $ y = \frac{k}{x} $（$ k = 48 \neq 0 $）的形式，因此 $ y $ 是 $ x $ 的反比例函数。
结论： $ y $ 与 $ x $ 的函数关系式为 $ y = \frac{48}{x} $（$ 6 \leq x \leq 10 $）；小王的说法正确。