《2025年学典四川九年级数学全一册北师大版》

1. 在$\triangle ABC$中,三条边的长分别为2,3,4,$\triangle A'B'C'$的两边长分别为1,1.5,要使$\triangle ABC\backsim\triangle A'B'C'$,那么$\triangle A'B'C'$中的第三边长应该是(A)
A.2
B.$\sqrt{2}$
C.4
D.$2\sqrt{2}$

答案： A

2. 在下列条件中,不能判断$\triangle ABC与\triangle DEF$相似的是(B)
A.$\angle A= \angle D$,$\angle B= \angle E$
B.$\frac{BC}{EF}= \frac{AC}{DF}且\angle B= \angle E$
C.$\frac{AB}{DE}= \frac{BC}{EF}= \frac{AC}{DF}$
D.$\frac{AB}{DE}= \frac{AC}{DF}且\angle A= \angle D$

答案： B

3. 下列$4×4$的正方形网格中,小正方形的边长均为1,三角形的顶点都在格点上,则与$\triangle ABC$(如图)相似的三角形所在的网格图形是(B)

答案： B

4. 在$\triangle ABC$中,$AB= 8$,$AC= 6$,在$\triangle DEF$中,$DE= 4$,$DF= 3$,要使$\triangle ABC与\triangle DEF$相似,则需添加的一个条件是$\angle A = \angle D$.(写出一个即可)

答案： $\angle A = \angle D$（答案不唯一）。

5. 如图,已知$\frac{AB}{AC}= \frac{AC}{AD}= k$,请再添加一个条件,使$\triangle ABC\backsim\triangle ACD$,你添加的条件是$\angle BAC = \angle CAD$.(写出一个即可)

答案： $\angle BAC = \angle CAD$

6. 在$\triangle ABC$中,$AC= 6$,$BC= 9$,点$D在边BC$上,$BD= 6$。若要在$AC上找一点E$,使$\triangle CDE与\triangle ABC$相似,则$CE$的长为2或4.5.

答案： CE的长为2或4.5。

7. 在$\triangle ABC和\triangle A'B'C'$中,已知$AB= 6cm$,$BC= 8cm$,$AC= 10cm$,$A'B'= 18cm$,$B'C'= 24cm$,$A'C'= 30cm$。试证明$\triangle ABC与\triangle A'B'C'$相似.

答案： 证明：
在$\triangle ABC$和$\triangle A'B'C'$中，
$\frac{AB}{A'B'} = \frac{6cm}{18cm} = \frac{1}{3}$，
$\frac{BC}{B'C'} = \frac{8cm}{24cm} = \frac{1}{3}$，
$\frac{AC}{A'C'} = \frac{10cm}{30cm} = \frac{1}{3}$。
$\therefore \frac{AB}{A'B'} = \frac{BC}{B'C'} = \frac{AC}{A'C'}$，
根据三角形的相似性质，如果两个三角形的三边对应成比例，则这两个三角形相似。
$\therefore \triangle ABC \sim \triangle A'B'C'$。

8. 如图,网格中每个方格都是边长为1的正方形。若$A$,$B$,$C$,$D$,$E$,$F$都是格点,试说明$\triangle ABC\backsim\triangle DEF$.

答案： 由勾股定理得：
$AC=\sqrt{1^2 + 1^2}=\sqrt{2}$，
$BC=\sqrt{1^2 + 2^2}=\sqrt{5}$，
$AB=2$，
$DE=4$，
$EF=\sqrt{2^2 + 4^2}=2\sqrt{5}$，
$DF=\sqrt{2^2 + 2^2}=2\sqrt{2}$。
$\because \frac{AC}{DF}=\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}=\frac{1}{2}$，
$\frac{BC}{EF}=\frac{\sqrt{5}}{2\sqrt{5}}=\frac{1}{2}$，
$\frac{AB}{DE}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$，
$\therefore \frac{AC}{DF}=\frac{BC}{EF}=\frac{AB}{DE}$。
$\therefore \triangle ABC\backsim\triangle DEF$。