《2025年学典四川九年级数学全一册北师大版》

9. 如图,已知 $ \triangle ABD $ 中,$ AC \perp BD $,$ BC = 8 $,$ CD = 4 $,$ \cos \angle ABC = \dfrac{4}{5} $,$ BF $ 为 $ AD $ 边上的中线。
(1) 求 $ AC $ 的长；
(2) 求 $ \tan \angle FBD $ 的值。

答案： （1）因为$ AC \perp BD $，$ \cos \angle ABC = \frac{4}{5} $，$ BC = 8 $，所以$ \cos \angle ABC = \frac{BC}{AB} = \frac{4}{5} $。
因此$ AB = \frac{5}{4} BC = \frac{5}{4} × 8 = 10 $。
根据勾股定理$ AC = \sqrt{AB^2 - BC^2} = \sqrt{10^2 - 8^2} = \sqrt{100 - 64} = \sqrt{36} = 6 $。
（2）因为$ AC \perp BD $，$ CD = 4 $，所以$ AD = \sqrt{AC^2 + CD^2} = \sqrt{6^2 + 4^2} = \sqrt{36 + 16} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13} $。
过点$ F $作$ FG \perp BD $，垂足为$ G $。
因为$ BF $为$ AD $边上的中线，所以$ F $是$ AD $的中点，$ FG $是三角形$ ACD $的中位线。
所以$ FG = \frac{1}{2} AC = \frac{1}{2} × 6 = 3 $，$ CG = \frac{1}{2} CD = \frac{1}{2} × 4 = 2 $。
因此$ BG = BC + CG = 8 + 2 = 10 $。
所以$ \tan \angle FBD = \frac{FG}{BG} = \frac{3}{10} $。

10. 如图,在平面直角坐标系中,点 $ O $ 是坐标原点,已知点 $ A(3,0) $,$ B(0,4) $,点 $ C $ 在 $ x $ 轴负半轴上,连接 $ AB $,$ BC $,以 $ BC $ 为边作等边三角形 $ BCD $,若 $ \tan \angle ABC = 2 $,则点 $ C $ 的坐标为$(-2,0)$,点 $ D $ 的坐标为$(-1-2\sqrt{3},2+\sqrt{3})$。

答案： $(-2,0)$，$(-1-2\sqrt{3},2+\sqrt{3})$

11. 如图,在四边形 $ ABCD $ 中,$ \angle ABC = 90^{\circ} $,$ \angle C = 60^{\circ} $,$ AB = \dfrac{\sqrt{3}}{2} $,$ BC = 1 + \sqrt{3} $,$ CD = 2 $。
(1) 求 $ \tan \angle ABD $ 的值；
(2) 求 $ AD $ 的长。

答案：
(1) 以点B为原点，BC所在直线为x轴，BA所在直线为y轴建立直角坐标系。
∵∠ABC=90°，AB=√3/2，BC=1+√3，
∴B(0,0)，A(0, √3/2)，C(1+√3, 0)。
在△BCD中，∠C=60°，CD=2，设D(x,y)。
向量CB=(-(1+√3),0)，向量CD=(x-(1+√3), y)，
由cos60°=(CB·CD)/(|CB||CD|)，得：
1/2=[-(1+√3)(x-(1+√3))]/[(1+√3)×2]，解得x=√3。
由|CD|=2，得√[(x-(1+√3))²+y²]=2，解得y=√3（取正值，凸四边形），
∴D(√3, √3)。
∠ABD中，BA为y轴正方向，BD斜率k=(√3-0)/(√3-0)=1，倾斜角45°，
∴∠ABD=45°，tan∠ABD=1。
(2) AD=√[(√3-0)²+(√3 - √3/2)²]=√[3 + (√3/2)²]=√(15/4)=√15/2。
(1) 1
(2) √15/2