《2025年学典四川九年级数学全一册北师大版》

1. 抛物线$y= -2x^{2}$的开口(B)
A.向上
B.向下
C.向左
D.向右

答案： B

2. 关于抛物线$y= 3x^{2}$,下列说法正确的是(C)
A.开口向下
B.顶点坐标为$(0,3)$
C.对称轴为$y$轴
D.当$x＜0$时,函数值$y随x$的增大而增大

答案： C

3. 函数$y= ax^{2}与函数y= ax+a(a≠0)$,在同一直角坐标系中的大致图象可能是(B)

答案： B

4. 若二次函数$y= ax^{2}$的图象开口向下,则关于$x的不等式ax＞a$的解集是$x＜1$。

答案： $x＜1$

5. 如果抛物线$y= 2x^{2}$与抛物线$y= ax^{2}$关于x轴对称,那么$a$的值是-2。

答案： $-2$

6. 如图,点$A$,$B分别在二次函数y= x^{2}$的图象上,且线段$AB⊥y$轴,若$AB= 6$,则$\triangle AOB$的面积为27。

答案： 27

7. 已知$y= (k+2)x^{k^{2}+k-4}$是二次函数,且当$x＜0$时,$y随x$的增大而增大。
(1)求$k$的值；
(2)求其图象的顶点坐标和对称轴。

答案：
(1) 由二次函数定义，指数需为2且系数不为0，得：
$\begin{cases}k^2 + k - 4 = 2 \\k + 2 \neq 0\end{cases}$
解方程 $k^2 + k - 6 = 0$，因式分解得 $(k + 3)(k - 2) = 0$，解得 $k = -3$ 或 $k = 2$。
又因当 $x ＜ 0$ 时 $y$ 随 $x$ 增大而增大，二次函数开口向下，系数 $k + 2 ＜ 0$，即 $k ＜ -2$。
$k = 2$ 时 $k + 2 = 4 ＞ 0$（舍），$k = -3$ 时 $k + 2 = -1 ＜ 0$，故 $k = -3$。
(2) 当 $k = -3$ 时，函数为 $y = -x^2$，其顶点坐标为 $(0, 0)$，对称轴为直线 $x = 0$（y轴）。
(1) $k = -3$；
(2) 顶点坐标 $(0, 0)$，对称轴直线 $x = 0$。

8. 在同一直角坐标系中,画出二次函数$y= \frac{1}{2}x^{2}$,$y= 2x^{2}$的图象。

答案： 答题卡
8.
(1)列表：
对于$y= \frac{1}{2}x^{2}$
当$x = -2$，$y = 2$；
当$x = -1$，$y = \frac{1}{2}$；
当$x = 0$，$y = 0$；
当$x = 1$，$y = \frac{1}{2}$；
当$x = 2$，$y = 2$。
对于$y= 2x^{2}$
当$x = -2$，$y = 8$；
当$x = -1$，$y = 2$；
当$x = 0$，$y = 0$；
当$x = 1$，$y = 2$；
当$x = 2$，$y = 8$。
(2)描点：在直角坐标系中描出上述各点。
(3)连线：用平滑的曲线连接各点，得到两个二次函数的图象。
结论：图象为开口向上，顶点在原点的抛物线，$y= 2x^{2}$比$y= \frac{1}{2}x^{2}$的图象更狭窄。

9. 如图,直线$y= -\frac{1}{2}x+b与抛物线y= ax^{2}交于A$,$B$两点,交$y轴于点C$,已知点$A的坐标为(-4,8)$。
(1)求$a$,$b$的值；
(2)若$CD⊥AB于点C$,且点$D在直线AB$下方,$CD= CA$,试说明点$D$在抛物线上。

答案：
(1)将点$A(-4,8)$代入抛物线$y=ax^2$，得$8=a(-4)^2$，即$16a=8$，解得$a=\frac{1}{2}$。
将点$A(-4,8)$代入直线$y=-\frac{1}{2}x+b$，得$8=-\frac{1}{2}(-4)+b$，即$8=2+b$，解得$b=6$。
(2)直线$y=-\frac{1}{2}x+6$与$y$轴交于点$C$，令$x=0$，得$y=6$，则$C(0,6)$。
$CA=\sqrt{(-4-0)^2+(8-6)^2}=\sqrt{16+4}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$。
直线$AB$的斜率为$-\frac{1}{2}$，则$CD\perp AB$，直线$CD$的斜率为$2$，直线$CD$的方程为$y=2x+6$。
设$D(x,2x+6)$，$CD=CA=2\sqrt{5}$，则$\sqrt{(x-0)^2+(2x+6-6)^2}=2\sqrt{5}$，即$\sqrt{x^2+(2x)^2}=2\sqrt{5}$，$\sqrt{5x^2}=2\sqrt{5}$，$|x|=2$。
点$D$在直线$AB$下方，直线$AB$：$y=-\frac{1}{2}x+6$，当$x=-2$时，$D(-2,2)$，代入$AB$方程得$y=-\frac{1}{2}(-2)+6=7$，$2＜7$，符合；当$x=2$时，$D(2,10)$，$10＞7$（舍去），故$D(-2,2)$。
抛物线$y=\frac{1}{2}x^2$，当$x=-2$时，$y=\frac{1}{2}(-2)^2=2$，则点$D$在抛物线上。