《2025年学典四川九年级数学全一册北师大版》

1. 已知 $ m,n $ 是关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^{2}-3x + a = 0 $ 的两个根,若 $ mn = -4 $,则 $ a $ 的值为( C)

A.$-10$
B.$4$
C.$-4$
D.$10$

答案： C

2. 关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^{2}-mx + 5(m - 5) = 0 $ 的两个正实数根分别为 $ x_{1},x_{2} $,且 $ 2x_{1} + x_{2} = 7 $,则 $ m $ 的值是(B)
A.$2$
B.$6$
C.$2$ 或 $6$
D.$7$

答案： B

3. 已知菱形 $ ABCD $ 的边长为 $ 5 $,两条对角线交于点 $ O $,且 $ OA,OB $ 的长分别是关于 $ x $ 的方程 $ x^{2}+(2m - 1)x + m^{2}+3 = 0 $ 的两个根,则 $ m $ 的值为(A)
A.$-3$
B.$5$
C.$5$ 或 $-3$
D.$-5$ 或 $3$

答案： A

4. 在解一元二次方程 $ x^{2}+bx + c = 0 $ 时,小明看错了一次项系数 $ b $,得到的解为 $ x_{1}= 2,x_{2}= 3 $；小刚看错了常数项 $ c $,得到的解为 $ x_{1}= 1,x_{2}= 5 $。请你写出正确的一元二次方程为$x^2 - 6x + 6 = 0$。

答案： 正确的一元二次方程为 $x^2 - 6x + 6 = 0$。

5. 若关于 $ x $ 的方程 $ x^{2}+(a - 1)x + a^{2}= 0 $ 的两根互为倒数,则 $ a = $-1。

答案： -1

6. 若 $ a,b $ 是一元二次方程 $ x^{2}-5x - 2 = 0 $ 的两个实数根,则 $ \frac{a^{3}+a^{2}b}{5a + 2} $ 的值为5。

答案： 5

7. 已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^{2}+2x + k - 3 = 0 $ 有实数根。
(1) 求实数 $ k $ 的取值范围；
(2) 设方程的两个实数根分别为 $ x_{1},x_{2} $,若 $ (x_{1}-1)(x_{2}-1)+x_{1}^{2}x_{2}^{2}= 15 $,求 $ k $ 的值。

答案：
(1) 对于方程 $x^2 + 2x + k - 3 = 0$，判别式 $\Delta = 2^2 - 4 × 1 × (k - 3) = 4 - 4(k - 3)$。
因为方程有实数根，所以 $\Delta \geq 0$，即 $4 - 4(k - 3) \geq 0$。
化简得 $16 - 4k \geq 0$，解得 $k \leq 4$。
(2) 由韦达定理，$x_1 + x_2 = -2$，$x_1x_2 = k - 3$。
$(x_1 - 1)(x_2 - 1) = x_1x_2 - (x_1 + x_2) + 1 = (k - 3) - (-2) + 1 = k$。
$x_1^2x_2^2 = (x_1x_2)^2 = (k - 3)^2$。
代入等式 $(x_1 - 1)(x_2 - 1) + x_1^2x_2^2 = 15$，得 $k + (k - 3)^2 = 15$。
整理得 $k^2 - 5k - 6 = 0$，因式分解 $(k - 6)(k + 1) = 0$，解得 $k = 6$ 或 $k = -1$。
结合
(1)中 $k \leq 4$，舍去 $k = 6$，故 $k = -1$。
(1) $k \leq 4$；
(2) $k = -1$

8. 已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^{2}-(m - 3)x - m = 0 $。
(1) 求证：方程有两个不相等的实数根；
(2) 如果方程的两实数根为 $ x_{1},x_{2} $,且 $ x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-x_{1}x_{2}= 7 $,求 $ m $ 的值。

答案：
(1) 证明：对于方程 $x^2 - (m - 3)x - m = 0$，判别式 $\Delta = [-(m - 3)]^2 - 4 × 1 × (-m)$
$= (m - 3)^2 + 4m$
$= m^2 - 6m + 9 + 4m$
$= m^2 - 2m + 9$
$= (m - 1)^2 + 8$
$\because (m - 1)^2 \geq 0$，$\therefore (m - 1)^2 + 8 \geq 8 ＞ 0$，即 $\Delta ＞ 0$，
$\therefore$ 方程有两个不相等的实数根。
(2) 由韦达定理得：$x_1 + x_2 = m - 3$，$x_1x_2 = -m$
$\because x_1^2 + x_2^2 - x_1x_2 = 7$，且 $x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$，
$\therefore (x_1 + x_2)^2 - 3x_1x_2 = 7$
代入得：$(m - 3)^2 - 3(-m) = 7$
$m^2 - 6m + 9 + 3m = 7$
$m^2 - 3m + 2 = 0$
$(m - 1)(m - 2) = 0$
解得 $m = 1$ 或 $m = 2$
$\therefore m$ 的值为 $1$ 或 $2$。