《2025年学典四川九年级数学全一册北师大版》

1. 已知抛物线 $ y = x^{2} + bx + c $ 的顶点坐标为 $ (1, - 3) $,则抛物线的函数表达式为(B)
A.$ y = x^{2} - 2x + 2 $
B.$ y = x^{2} - 2x - 2 $
C.$ y = - x^{2} - 2x + 1 $
D.$ y = x^{2} - 2x + 1 $

答案： B

2. 抛物线 $ y = ax^{2} + bx + c $ 与 $ x $ 轴的两个交点坐标为 $ (-1,0) $,$ (3,0) $,其形状和开口方向与抛物线 $ y = - 2x^{2} $ 相同,则该抛物线的函数表达式为(D)
A.$ y = - 2x^{2} - x + 3 $
B.$ y = - 2x^{2} + 4x + 5 $
C.$ y = - 2x^{2} + 4x + 8 $
D.$ y = - 2x^{2} + 4x + 6 $

答案： D

3. 已知二次函数 $ y = x^{2} - bx + c $ 的图象经过点 $ A(1,n) $,$ B(3,n) $,则 $ b $ 的值为(C)
A.2
B.- 2
C.4
D.- 4

答案： C

4. 已知二次函数 $ y = x^{2} + bx + c $ 的图象经过点 $ (-1,0) $,$ (4,0) $,则 $ c = $-4。

答案： $-4$

5. 一抛物线和抛物线 $ y = - 2x^{2} $ 的形状和开口方向完全相同,且顶点坐标是 $ (-2,1) $,则该抛物线的表达式为$ y = -2(x + 2)^2 + 1 $。

答案： $ y = -2(x + 2)^2 + 1 $

6. 抛物线的对称轴为直线 $ x = 2 $,最小值为 $ - 1 $,且与 $ y $ 轴的交点坐标为 $ (0,3) $,则该抛物线的表达式为$ y = x^2 - 4x + 3 $。

答案： 该抛物线的表达式为 $ y = x^2 - 4x + 3 $。

7. (1) 若二次函数 $ y = ax^{2} + bx + c $ 的图象的顶点坐标是 $ (2,1) $,且经过点 $ (1, - 2) $,求此二次函数的表达式；
(2) 已知二次函数的图象经过点 $ A(-1,0) $,$ B(0, - 2) $,$ C(4,0) $,求此二次函数的表达式；
(3) 已知二次函数 $ y = ax^{2} + bx + c(a \neq 0) $ 的图象经过点 $ (1,4) $,并经过一次函数 $ y = - x + 3 $ 的图象与 $ x $ 轴、$ y $ 轴的交点,求该二次函数的表达式。

答案：
(1)
由题意知，二次函数的顶点式为 $y = a(x - h)^{2} + k$，其中 $(h, k) = (2, 1)$。
设二次函数为 $y = a(x - 2)^{2} + 1$。
代入点 $(1, -2)$，得：
$-2 = a(1 - 2)^{2} + 1$
$-2 = a + 1$
解得 $a = -3$。
因此，二次函数为 $y = -3(x - 2)^{2} + 1$，
展开得 $y = -3x^{2} + 12x - 11$。
(2)
设二次函数为 $y = a(x + 1)(x - 4)$。
代入点 $(0, -2)$，得：
$-2 = a(0 + 1)(0 - 4)$
$-2 = -4a$
解得 $a = \frac{1}{2}$。
因此，二次函数为 $y = \frac{1}{2}(x + 1)(x - 4)$，
展开得 $y = \frac{1}{2}x^{2} - \frac{3}{2}x - 2$。
(3)
首先求一次函数 $y = -x + 3$ 与 $x$ 轴、$y$ 轴的交点。
令 $y = 0$，解得 $x = 3$，交点为 $(3, 0)$；
令 $x = 0$，解得 $y = 3$，交点为 $(0, 3)$。
设二次函数为 $y = ax^{2} + bx + c$。
代入点 $(1, 4)$，$(3, 0)$，$(0, 3)$，得方程组：
$\begin{cases}a + b + c = 4 \\9a + 3b + c = 0 \\c = 3\end{cases}$
解得：
$\begin{cases}a = -1 \\b = 2 \\c = 3\end{cases}$
因此，二次函数为 $y = -x^{2} + 2x + 3$。

8. 已知抛物线 $ y = - x^{2} + bx + c $ 经过点 $ B(-1,0) $ 和点 $ C(2,3) $。
(1) 求此抛物线的表达式；
(2) 如果此抛物线上下平移后经过点 $ (-2, - 1) $,试确定平移的方向和平移的距离。

答案：
(1)
将点$B(-1,0)$代入$y = -x^2 + bx + c$，得：
$0 = -(-1)^2 + b(-1) + c$，
即：
$0 = -1 - b + c$，
$b = c- 1$，
将点$C(2,3)$代入$y = -x^2 + bx + c$，得：
$3 = -(2)^2 + 2b + c$，
即：
$3 = -4 + 2b + c$，
$2b+c=7$，
将$b = c- 1$代入$2b+c=7$，得：
$2(c- 1)+c=7$，
$2c-2+c=7$，
$3c=9$，
$c=3$，
将$c=3$代入$b = c- 1$，得：
$b = 3- 1=2$，
所以此抛物线的表达式为$y = -x^2 + 2x + 3$。
(2)
设平移后的抛物线表达式为$y = -x^2 + 2x + 3 + k$。
将点$(-2, -1)$代入得：
$-1 = -(-2)^2 + 2(-2) + 3 + k$，
即：
$-1 = -4 - 4 + 3 + k$，
$k = 4$，
由于$k ＞ 0$，所以抛物线向上平移，平移的距离为$4$个单位。