《2025年学典四川九年级数学全一册北师大版》

9. 如图,已知 $\triangle ABC$ 中,$\angle C = 90^{\circ}$,$\angle A = 45^{\circ}$,$BD$ 为 $AC$ 边上的中线,求 $\sin \angle ABD$ 和 $\tan \angle ABD$ 的值。

答案： 设$CD = a$。
$\because \angle C=90^\circ,\angle A=45^\circ$，
$\therefore \angle ABC = 180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$，$AC = BC$。
$\because BD$为$AC$边上的中线，
$\therefore AD = DC = a, AC = BC = 2a$。
在$\triangle BDC$中，由勾股定理得$BD = \sqrt{BC^2 + CD^2} = \sqrt{(2a)^2 + a^2} = \sqrt{5}a$。
过点$D$作$DE \perp AB$于点$E$。
$\because \angle A = 45^\circ,\angle C = 90^\circ$，
$\therefore \angle A = \angle ABC = 45^\circ$，
$\therefore AC = BC = 2a, AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{(2a)^2 + (2a)^2} = 2\sqrt{2}a$。
$\therefore \sin\angle A=\frac{DE}{AD}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
$\therefore DE = \frac{\sqrt{2}}{2}× a=\frac{\sqrt{2}a}{2}, AE = DE = \frac{\sqrt{2}a}{2}$。
$\therefore BE = AB - AE = 2\sqrt{2}a - \frac{\sqrt{2}a}{2} = \frac{3\sqrt{2}a}{2}$。
$\therefore \sin\angle ABD = \frac{DE}{BD} = \frac{\frac{\sqrt{2}a}{2}}{\sqrt{5}a} = \frac{\sqrt{10}}{10}$。
$\tan\angle ABD = \frac{DE}{BE} = \frac{\frac{\sqrt{2}a}{2}}{\frac{3\sqrt{2}a}{2}} = \frac{1}{3}$。

10. 如图,菱形 $ABCD$ 中,$AB = 5$,$\sin \angle ABD = \frac{\sqrt{5}}{5}$,点 $E$ 为 $BC$ 延长线上的一个动点,连接 $AE$ 交 $BD$ 于点 $F$,若 $\triangle CEF$ 为直角三角形,则 $BE$ 的长为25/3或15。

答案： 25/3或15

11. 如图,在梯形 $ABCD$ 中,已知 $\angle BCD = 90^{\circ}$,$\tan \angle ADC = 2$,点 $E$ 在梯形内,点 $F$ 在梯形外,$\frac{BE}{CE} = \frac{AB}{CD} = 0.5$,$\angle EDC = \angle FBC$,且 $DE = BF$。
(1) 判断 $\triangle ECF$ 的形状,并证明你的结论；
(2) 若 $\angle BEC = 135^{\circ}$,求 $\angle BFE$ 的正弦值。

答案：
(1) △ECF是等腰直角三角形。证明如下：
∵ 梯形ABCD中∠BCD=90°，AB//CD，
∴ABCD为直角梯形，BC⊥CD。设CD=2a，则AB=a，过A作AG⊥CD于G，tan∠ADC=AG/DG=2，DG=CD-AB=a，
∴AG=2a，即BC=CD=2a。
∵ BE/CE=AB/CD=1/2，设CE=2k，则BE=k。
∵ ∠EDC=∠FBC，DE=BF，CD=BC，
∴△EDC≌△FBC(SAS)，
∴EC=FC，∠ECD=∠FCB。
∵ ∠ECF=∠ECB+∠FCB=∠ECB+∠ECD=∠BCD=90°，
∴△ECF是等腰直角三角形。
(2) 设CE=2k，CE=CF=2k，∠ECF=90°，则EF=2√2k。∠BEC=135°，∠CEF=45°，
∴∠BEF=∠BEC-∠CEF=90°。
在△BEC中，由余弦定理：BC²=BE²+CE²-2·BE·CE·cos135°=k²+4k²+2√2k²=k²(5+2√2)，
∴BC=√(5+2√2)k。
由正弦定理：BE/sin∠BCE=CE/sin∠EBC，得sin∠EBC=2sin∠BCE，又∠BCE+∠EBC=45°，解得∠EBC的三角函数值。
在△BEF中，∠BEF=90°，BE=k，EF=2√2k，
∴BF=3k，sin∠BFE=BE/BF=1/3。
(1) 等腰直角三角形；
(2) 1/3