《2025年学典四川九年级数学全一册北师大版》

9. 如图,在$\triangle ABC$中,$AB = AC$,$AD是BC$边上的中线,点$E在DA$的延长线上,连接$BE$,过点$C作CF // BE交AD的延长线于点F$,连接$BF$,$CE$. 求证：四边形$BECF$是菱形.

答案： 证明：
∵AB=AC，AD是BC边上的中线，
∴BD=CD，AD⊥BC（等腰三角形三线合一）。
∵CF//BE，
∴∠EBD=∠FCD，∠BED=∠CFD。
在△BDE和△CDF中，
$\begin{cases} ∠EBD=∠FCD \\ ∠BED=∠CFD \\ BD=CD \end{cases}$
∴△BDE≌△CDF（AAS），
∴BE=CF。
∵BE//CF，
∴四边形BECF是平行四边形。
∵AD⊥BC，即EF⊥BC，
∴平行四边形BECF是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）。
结论：四边形BECF是菱形。

10. 如图,在四边形$ABCD$中,$AC = BD = 3\sqrt{2}$,点$E$,$F$,$G$,$H分别是边AB$,$BC$,$CD$,$DA$的中点,连接$EF$,$FG$,$GH$,$EH$,$EG$,$FH$,则四边形$EFGH$的形状是菱形,$EG^{2} + FH^{2} = $18.

答案： 菱形；18

11. 如图,在$□ ABCD$中,$BC = 2AB$,$E$,$F分别是BC$,$AD$的中点,$AE$,$BF交于点O$,连接$EF$,$OC$.
(1)求证：四边形$ABEF$是菱形；
(2)若$AB = 4$,$\angle ABC = 60^{\circ}$,求$OC$的长.

答案：
(1)见解析；
(2)2√7。