《2025年学典四川九年级数学全一册北师大版》

9. 已知抛物线$y = x^{2}-4x + m与x轴交于A(x_{1},0)$,$B(x_{2},0)$两点,与$y轴交于点C$。
(1) 求$m$的取值范围；
(2) 如果$A$,$B$两点分别在原点的左右两侧,且$5OB\cdot OA = OC^{2}$,求$m$的值。

答案：
(1) 抛物线与x轴交于两点，方程$x^2 - 4x + m = 0$有两个不等实根，判别式$\Delta = (-4)^2 - 4 × 1 × m = 16 - 4m ＞ 0$，解得$m ＜ 4$。
(2) 由韦达定理，$x_1x_2 = m$。A、B在原点两侧，$x_1x_2 ＜ 0$，即$m ＜ 0$。
$OA = |x_1| = -x_1$，$OB = |x_2| = x_2$，则$OB \cdot OA = -x_1x_2 = -m$。
点C坐标为$(0, m)$，$OC = |m| = -m$，$OC^2 = m^2$。
由$5OB \cdot OA = OC^2$，得$5(-m) = m^2$，即$m^2 + 5m = 0$，解得$m = 0$或$m = -5$。
因$m ＜ 0$，故$m = -5$。
(1) $m ＜ 4$；
(2) $m = -5$

10. (1) 在平面直角坐标系中,将抛物线$y= (x - 2024)(x - 2026)+6向下平移6$个单位长度,所得的新抛物线与$x轴有两个公共点P$,$Q$,则点$P与点Q$之间的距离为2；
(2) 若关于$x的一元二次方程ax^{2}+2x - 5 = 0的两根中有且仅有一根在0和1$之间(不含$0和1$),则$a$的取值范围是$a＞3$；
(3) 如图,抛物线$y= -x^{2}+2x + 3与y轴交于点A$,与$x轴的负半轴交于点B$,线段$CD$在抛物线的对称轴上移动(点$C在点D$的下方),且$CD = 1$,则$AD + BC$的最小值是$\sqrt{13}$.

答案：
(1)2；
(2)$a＞3$；
(3)$\sqrt{13}$

11. 已知抛物线$y = x^{2}+mx-\dfrac{3}{4}m^{2}(m\gt0)与x轴交于A$,$B$两点。
(1) 求证：抛物线的对称轴在$y$轴的左侧；
(2) 若$\dfrac{1}{OB}-\dfrac{1}{OA}= \dfrac{2}{3}$($O$为坐标原点),求抛物线的表达式。

答案：
(1) 证明见上；
(2) $y=x^2+2x-3$。