《2025年学典四川九年级数学全一册北师大版》

9. 如图,一次函数$y = 2x - b的图象与反比例函数y= \frac{k}{x}的图象交于A$,$B$两点,与$x$轴、$y轴分别交于点C$,$D$,且点$A的坐标为(2,2)$。
(1)求一次函数和反比例函数的表达式；
(2)求$\triangle AOB$的面积。

答案：
(1)
已知点$A(2,2)$在反比例函数$y = \frac{k}{x}$上，将$A(2,2)$代入$y = \frac{k}{x}$，得$2=\frac{k}{2}$，解得$k = 4$，所以反比例函数表达式为$y=\frac{4}{x}$。
又因为点$A(2,2)$在一次函数$y = 2x - b$上，将$A(2,2)$代入$y = 2x - b$，得$2=2×2 - b$，即$2 = 4 - b$，解得$b = 2$，所以一次函数表达式为$y = 2x - 2$。
(2)
对于一次函数$y = 2x - 2$，令$y = 0$，则$0 = 2x - 2$，解得$x = 1$，所以$C(1,0)$。
令$x = 0$，则$y = - 2$，所以$D(0,-2)$。
联立$\begin{cases}y = 2x - 2\\y=\frac{4}{x}\end{cases}$，即$2x - 2=\frac{4}{x}$，两边同乘$x$得$2x^{2}-2x - 4 = 0$，化简为$x^{2}-x - 2 = 0$，因式分解得$(x - 2)(x+1)=0$，解得$x_1 = 2$，$x_2=-1$。
当$x = - 1$时，$y = 2×(-1)-2=-4$，所以$B(-1,-4)$。
${S}_{\triangle AOB}={S}_{\triangle AOC}+{S}_{\triangle BOC}$
${S}_{\triangle AOC}=\frac{1}{2}× OC× y_A=\frac{1}{2}×1×2 = 1$
${S}_{\triangle BOC}=\frac{1}{2}× OC×\vert y_B\vert=\frac{1}{2}×1×4 = 2$
所以${S}_{\triangle AOB}=1 + 2=3$。
综上，
(1)一次函数表达式为$y = 2x - 2$，反比例函数表达式为$y=\frac{4}{x}$；
(2)$\triangle AOB$的面积为$3$。

10. 若点$A(-3,y_{1})$,$B(-1,y_{2})$,$C(2,y_{3})都在反比例函数y= \frac{-1 - k^{2}}{x}$的图象上,则$y_{1}$,$y_{2}$,$y_{3}$从大到小的顺序是$y_2 ＞ y_1 ＞ y_3$。

答案： $y_2 ＞ y_1 ＞ y_3$

11. 如图,一次函数$y = mx + n的图象与反比例函数y= \frac{k}{x}的图象交于点A(-3,a)$,$B(1,3)$,与$x$轴、$y轴分别交于点C$,$D$。
(1)求反比例函数和一次函数的表达式；
(2)在反比例函数图象上有一点$P$,使得$S_{\triangle OCP}= 3S_{\triangle OBD}$,求点$P$的坐标。

答案：
(1)
因为点$B(1,3)$在反比例函数$y = \frac{k}{x}$上，所以$3=\frac{k}{1}$，解得$k = 3$，反比例函数表达式为$y=\frac{3}{x}$。
把$A(-3,a)$代入$y=\frac{3}{x}$，得$a=\frac{3}{-3}=-1$，即$A(-3,-1)$。
把$A(-3,-1)$，$B(1,3)$代入$y = mx + n$，得$\begin{cases}-3m + n=-1\\m + n=3\end{cases}$，两式相减得$-4m=-4$，解得$m = 1$，把$m = 1$代入$m + n=3$得$n = 2$，一次函数表达式为$y=x + 2$。
(2)
对于一次函数$y=x + 2$，令$x = 0$，得$y = 2$，所以$D(0,2)$；令$y = 0$，得$x=-2$，所以$C(-2,0)$。
$S_{\triangle OBD}=\frac{1}{2}× OD×|x_B|=\frac{1}{2}×2×1 = 1$。
因为$S_{\triangle OCP}=3S_{\triangle OBD}$，所以$S_{\triangle OCP}=3$。
设$P(x,\frac{3}{x})$，$S_{\triangle OCP}=\frac{1}{2}× OC×|\frac{3}{x}|$，$OC = 2$，则$\frac{1}{2}×2×|\frac{3}{x}|=3$，即$|\frac{3}{x}| = 3$。
当$\frac{3}{x}=3$时，$x = 1$；当$\frac{3}{x}=-3$时，$x=-1$。
所以$P(1,3)$或$P(-1,-3)$。