《2025年学典四川九年级数学全一册北师大版》

9. 如图,四边形 $ ABCD $ 为平行四边形,$ AE $ 平分 $ \angle BAD $ 交 $ BC $ 于点 $ E $,过点 $ E $ 作 $ EF // AB $,交 $ AD $ 于点 $ F $,连接 $ BF $.
(1)求证：$ BF $ 平分 $ \angle ABC $；
(2)若 $ AB = 6 $,且四边形 $ ABCD \sim $ 四边形 $ CEFD $,求 $ BC $ 的长.

答案：
(1)证明：
∵四边形$ABCD$为平行四边形，
∴$AD// BC$，$\angle DAE = \angle AEB$。
∵$AE$平分$\angle BAD$，
∴$\angle DAE = \angle BAE$，
∴$\angle BAE = \angle AEB$，
∴$AB = BE$。
∵$EF// AB$，$AD// BC$，
∴四边形$ABEF$为平行四边形。
又
∵$AB = BE$，
∴平行四边形$ABEF$为菱形，
∴$BF$平分$\angle ABC$。
(2)解：
设$BC = x$，则$AD = BC = x$。
∵四边形$ABEF$为菱形，$AB = 6$，
∴$AF = AB = 6$，$FD = AD - AF = x - 6$。
∵$ABCD$为平行四边形，
∴$CD = AB = 6$，$EF// CD$，$FD// EC$，
∴四边形$CEFD$为平行四边形，$CE = FD = x - 6$，$EF = CD = 6$。
∵四边形$ABCD\sim$四边形$CEFD$，
∴$\frac{AB}{CE} = \frac{BC}{EF}$，即$\frac{6}{x - 6} = \frac{x}{6}$。
解得$x = 3 + 3\sqrt{5}$（负值舍去）。
∴$BC = 3 + 3\sqrt{5}$。

10. 如图,菱形 $ ABCD \sim $ 菱形 $ AEFG $,菱形 $ AEFG $ 的顶点 $ G $ 在菱形 $ ABCD $ 的 $ BC $ 边上运动,$ GF $ 与 $ AB $ 相交于点 $ H $,$ \angle E = 60^\circ $,若 $ CG = 3 $,$ AH = 7 $,则菱形 $ ABCD $ 的边长为______8.zyjl.cn/pic18/2025-09-10/436530c4bacc57d4e7397e02a72b843a.jpg?x-oss-process=image/crop,x_384,y_2251,w_285,h_361">

答案： 8

11. 如图,点 $ E $ 是菱形 $ ABCD $ 对角线 $ CA $ 的延长线上任意一点,以线段 $ AE $ 为边作一个菱形 $ AEFG $,且菱形 $ AEFG \sim $ 菱形 $ ABCD $,相似比是 $ \sqrt{3}:2 $,连接 $ EB $,$ GD $.
(1)求证：$ EB = GD $；
(2)若 $ \angle DAB = 60^\circ $,$ AB = 2 $,求 $ GD $ 的长.

答案：
(1)见证明过程；
(2)√13。