《2025年学典四川九年级数学全一册北师大版》

9. 随着冬季的来临,为了方便冰雪爱好者雪上娱乐,某体育用品商店购进一批简易滑雪板,每件进价为$100$元,售价为$130$元,每星期可卖出$80$件,由于商品库存较多,商家决定降价促销,根据市场调查,每件每降价$1$元,每星期可多卖出$4$件.
(1) 设商家每件滑雪板降价$x$元,每星期的销售量为$y$件,写出$y与x$之间的函数关系式；
(2) 降价后,商家要使每星期的利润最大,应将简易滑雪板售价定为每件多少元？最大销售利润是多少元？

答案：
(1) 根据题意，每降价$1$元，销售量增加$4$件。设降价$x$元，则销售量增加$4x$件。原销售量为$80$件，所以降价后的销售量为：
$y = 80 + 4x$
(2) 设降价$x$元后的每件滑雪板的售价为$130-x$元，每星期的销售量为$80+4x$件。
原进价为$100$元，则每件滑雪板的利润为$(130-x) - 100 = 30 - x$元。
因此，每星期的总利润为：
$W = (30 - x)(80 + 4x)$
展开得：
$W = 2400 + 120x - 80x - 4x^2$
$W = -4x^2 + 40x + 2400$
为了求$W$的最大值，我们可以将$W$表示为完全平方的形式：
$W = -4(x^2 - 10x) + 2400$
$W = -4(x^2 - 10x + 25) + 2400 + 100$
$W = -4(x - 5)^2 + 2500$
由于二次项系数为负，所以$W$在$x=5$时取得最大值，即$W_{max} = 2500$。
此时，售价为$130 - 5 = 125$元。
答：商家应将简易滑雪板售价定为每件$125$元，此时每星期的销售利润最大，为$2500$元。

10. 已知二次函数$y = ax^{2}+2ax + 3a^{2}+3$(其中$x$是自变量),当$x\geq2$时,$y随x$的增大而减小,且当$-4\leq x\leq1$时,$y的最大值为7$,则$a$的值为$-1$。

答案： $-1$

11. 为有力有效推进乡村全面振兴,在驻村工作队的帮扶下,某村积极推动“合作社 + 农户”模式托起村民致富梦. 村合作社推广种植某特色农产品,每千克成本为$20$元,规定每千克售价需超过成本,但不高于$50$元,日销售量$y$(千克)与售价$x$(元/千克)之间存在一次函数关系,部分图象如图所示,设该农产品的日销售利润为$W$元.
(1) 分别求出$y与x$、$W与x$之间的函数关系式；
(2) 该合作社决定从每天的销售利润中拿出$200$元设立“助学基金”,若捐款后合作社的剩余利润是$800$元,求该农产品的售价；
(3) 若该农产品的日销售量不低于$90$千克,当售价定为多少时,每天获取的利润最大？最大利润是多少元？

答案：
(1)$y=-2x+160$，$W=-2x^2+200x-3200$；
(2)$30$元/千克；
(3)$35$元/千克，$1350$元。