《2025年学典四川九年级数学全一册北师大版》

9. 如图,在网格图中,每格是边长为1的正方形,四边形ABCD的顶点均为格点.
(1)以O为位似中心,在网格图中作四边形A'B'C'D',使四边形A'B'C'D'与四边形ABCD位似,且$\frac{OC'}{OC}= 2$；
(2)求$\frac{S_{\triangle A'B'O}}{S_{\triangle A'C'O}}$的值.

答案： （1）根据题意，位似中心为O，位似比为2。
四边形$ A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}D^{\prime} $的顶点坐标可以通过以下公式计算：
$A^{\prime}= O + 2 × (A - O)$；
$B^{\prime}= O + 2 × (B - O)$；
$C^{\prime}= O + 2 × (C - O)$；
$D^{\prime}= O + 2 × (D - O)$。
在网格图中，以O为位似中心，按照位似比2作出四边形$ A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}D^{\prime} $。
（2）$\frac{OC^{\prime}}{OC}= 2$，且$\angle C^{\prime}OA^{\prime}=\angle COA$。
$\therefore \triangle A^{\prime}OC^{\prime}\sim\triangle AOC$，$\frac{A^{\prime}C^{\prime}}{AC}=2$。
$\therefore \frac{A^{\prime}O}{AO}=\frac{C^{\prime}O}{CO}=2$。
$\therefore S_{\triangle A^{\prime}C^{\prime}O}=4S_{\triangle AOC}$，$S_{\triangle A^{\prime}BO}=4S_{\triangle ABO}$。
作$AE\bot OC^{\prime}$于点E，$BF\bot OC^{\prime}$于点F。
$\therefore AE// BF$。
$\therefore \triangle AOE\sim\triangle BOF$。
$\therefore \frac{BF}{AE}=\frac{OB}{OA}=\frac{2}{5}$。
$\therefore \frac{S_{\triangle ABO}}{S_{\triangle AOC}}=\frac{\frac{1}{2}× OB× AE}{\frac{1}{2}× OA× BF}=\frac{2× AE}{5× BF}=\frac{2×5}{5×2}=1=\frac{5}{2}$。
$\therefore S_{\triangle A^{\prime}BO}=\frac{5}{2}×4S_{\triangle AOC}=10$。
$\therefore \frac{S_{\triangle A^{\prime}BO}}{S_{\triangle A^{\prime}CO}}=\frac{10}{4}=\frac{5}{2}$。

10. 如图,以点A为位似中心,把△ABC按相似比1:3放大得到△ADE,连接CD.若△ABC的面积为6,则△CDE的面积为36。

答案： 36

11. 如图,正三角形$A_1B_1C_1,A_2B_2C_2,A_3B_3C_3,…,AₙBₙCₙ$位似,其中第1个三角形$A_1B_1C_1$的边长为1,点O是$B_1C_1$的中点$,A_2$是$OA_1$的中点$,A_3$是$OA_2$的中点,……,Aₙ是$OAₙ₋_1$的中点,顶点$B_2,B_3,…,Bₙ,C_2,C_3,…,Cₙ$都在$B_1C_1$上.
(1)试写出$△A_1₀B_1₀C_1₀$和$△A_7B_7C_7$的相似比和位似中心；
(2)求出第n(n为正整数)个三角形AₙBₙCₙ的周长.

答案：
(1) 相似比$1:8$，位似中心为点O；
(2)$\frac{3}{2^{n-1}}$。