《2025年学典四川九年级数学全一册北师大版》

1. 下列各组图形相似的是 (B)

答案： B

2. 下列结论错误的是 (C)

A.所有的正方形都相似
B.所有的等边三角形都相似
C.所有的菱形都相似
D.所有的正六边形都相似

答案： C

3. 若五边形 $ ABCDE $ 与五边形 $ A_1B_1C_1D_1E_1 $ 相似,且相似比 $ k_1 = 5 $,则五边形 $ A_1B_1C_1D_1E_1 $ 与五边形 $ ABCDE $ 的相似比 $ k_2 = $ (B)
A.2
B.$ \frac{1}{5} $
C.1.2
D.1

答案： B

4. 全等的两个图形的相似比为1.

答案： 1

5. 两个相似多边形的最长边分别是 10cm 和 20cm,其中较小多边形的最短边长是 5cm,则另一个多边形的最短边长是10.

答案： 10

6. 如图,网格中的每个小正方形的边长都为 1,若五边形 $ ABCDE \sim $ 五边形 $ A'B'C'D'E' $,则这两个五边形的相似比是______2:1.zyjl.cn/pic18/2025-09-10/40bf97e98272b2002a396a4505d3d7b9.jpg?x-oss-process=image/crop,x_290,y_1924,w_539,h_363">

答案： 1. 首先明确相似比的定义：
相似多边形对应边的比叫做相似比。
2. 然后找出一组对应边：
观察图形，取五边形$ABCDE$的边$CD$和五边形$A'B'C'D'E'$的边$C'D'$。
由图可知$CD = 2$，$C'D'=1$。
所以这两个五边形的相似比$k=\frac{CD}{C'D'}=\frac{2}{1}$。
故答案为$2:1$。

7. 如图,四边形 $ ABCD \sim $ 四边形 $ A'B'C'D' $.
(1)求边 $ x $,$ y $ 的长度和 $ \alpha $ 的度数；
(2)求四边形 $ ABCD $ 与四边形 $ A'B'C'D' $ 的周长之比.

答案：
(1)
∵四边形$ABCD \sim$四边形$A'B'C'D'$，
∴对应角相等，对应边成比例。
对应角：$\angle D = \angle D' = 140^\circ$，四边形内角和为$360^\circ$，
$\angle C = 360^\circ - \angle A - \angle B - \angle D = 360^\circ - 62^\circ - 75^\circ - 140^\circ = 83^\circ$，
∴$\alpha = \angle C' = \angle C = 83^\circ$。
对应边：$AD = 9$与$C'D' = 6$为对应边，相似比$k = \frac{AD}{C'D'} = \frac{9}{6} = \frac{3}{2}$。
$AB$与$A'B'$对应，$\frac{AB}{A'B'} = k$，即$\frac{y}{11} = \frac{3}{2}$，解得$y = \frac{33}{2}$。
$BC$与$B'C'$对应，$\frac{BC}{B'C'} = k$，即$\frac{x}{8} = \frac{3}{2}$，解得$x = 12$。
(2)相似多边形周长之比等于相似比，
∴周长之比为$\frac{3}{2}$。
(1)$x = 12$，$y = \frac{33}{2}$，$\alpha = 83^\circ$；
(2)$\frac{3}{2}$。

8. 如图,矩形花坛 $ ABCD $ 的宽 $ AB = 20 $ 米,长 $ AD = 30 $ 米. 现计划在该花坛四周修筑小路,使小路四周所围成的矩形 $ A'B'C'D' \sim $ 矩形 $ ABCD $,并且相对两条小路的宽相等,试问小路的宽 $ x $ 与 $ y $ 的比值是多少？

答案： 解：因为矩形$A'B'C'D'\sim$矩形$ABCD$，所以$\frac{A'B'}{AB}=\frac{A'D'}{AD}$。
已知$AB = 20$米，$AD = 30$米，$A'B'=20 + 2y$，$A'D'=30 + 2x$，则$\frac{20 + 2y}{20}=\frac{30 + 2x}{30}$。
$\begin{aligned}30(20 + 2y)&=20(30 + 2x)\\600+60y&=600 + 40x\\60y&=40x\\frac{x}{y}&=\frac{60}{40}=\frac{3}{2}\end{aligned}$
所以小路的宽$x$与$y$的比值是$\frac{3}{2}$。