《2025年学典四川九年级数学全一册北师大版》

1. 在 $Rt\triangle ABC$ 中,若 $\angle C = 90^{\circ}$,$BC = 6$,$AC = 8$,则 $\sin A$ 的值为(C)
A.$\frac{4}{5}$
B.$\frac{3}{4}$
C.$\frac{3}{5}$
D.$\frac{4}{3}$

答案： C

2. 在 $Rt\triangle ABC$ 中,$\angle C = 90^{\circ}$,若 $\sin A = \frac{5}{13}$,则 $\cos A$ 的值为(D)
A.$\frac{5}{12}$
B.$\frac{8}{13}$
C.$\frac{2}{3}$
D.$\frac{12}{13}$

答案： D

3. 如图,$A$,$B$,$C$ 三点在正方形网格线的交点处,若将 $\triangle ABC$ 绕点 $A$ 逆时针旋转得到 $\triangle AB'C'$,则 $\sin B'$ 的值为(D)

A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{12}{13}$
D.$\frac{\sqrt{10}}{10}$

答案： D

4. 在正方形网格中,$\triangle ABC$ 的位置如图所示,则 $\cos B$ 的值为√2/2。

答案： √2/2

5. 如图,在 $\triangle ABC$ 中,$AC = 10$,$\sin C = \frac{4}{5}$,$\sin B = \frac{1}{3}$,则 $AB = $24。

答案： 24

6. 在 $\triangle ABC$ 中,$\angle C = 90^{\circ}$,$\tan A = \frac{12}{5}$,$\triangle ABC$ 的周长为 $60$,则 $AB = $26。

答案： 26

7. (1) 在 $Rt\triangle ABC$ 中,$\angle C = 90^{\circ}$,$BC = 3$,$AB = 5$,求 $\sin A$,$\cos A$,$\tan A$ 的值；
(2) 如图,在 $Rt\triangle ABC$ 中,$\angle C = 90^{\circ}$,$AC = 6$,$\tan A = \frac{4}{3}$,求 $\sin A$,$\cos B$ 的值。

答案：
(1)
已知在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，$BC = 3$，$AB = 5$。
根据勾股定理$AC=\sqrt{AB^{2}-BC^{2}}=\sqrt{5^{2}-3^{2}} = 4$。
$\sin A=\frac{BC}{AB}=\frac{3}{5}$；
$\cos A=\frac{AC}{AB}=\frac{4}{5}$；
$\tan A=\frac{BC}{AC}=\frac{3}{4}$。
(2)
在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，$AC = 6$，$\tan A=\frac{BC}{AC}=\frac{4}{3}$，则$BC = AC×\tan A=6×\frac{4}{3}=8$。
根据勾股定理$AB=\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}=\sqrt{6^{2}+8^{2}} = 10$。
$\sin A=\frac{BC}{AB}=\frac{8}{10}=\frac{4}{5}$；
因为$\angle C = 90^{\circ}$，所以$\angle A+\angle B = 90^{\circ}$，则$\cos B=\sin A=\frac{4}{5}$。

8. 如图,在 $\triangle ABC$ 中,$AB = AC$,$BD \perp AC$ 于 $D$,若 $AC = 15$,$\cos A = \frac{4}{5}$,求 $BD$,$CD$ 的长。

答案： 在$\triangle ABC$中，$AB=AC=15$，$BD\perp AC$于$D$。
在$Rt\triangle ABD$中，$\cos A=\frac{AD}{AB}=\frac{4}{5}$，$AB=15$，则$AD=AB\cdot\cos A=15×\frac{4}{5}=12$。
由勾股定理得$BD=\sqrt{AB^{2}-AD^{2}}=\sqrt{15^{2}-12^{2}}=\sqrt{225 - 144}=\sqrt{81}=9$。
因为$AC=15$，$AD=12$，所以$CD=AC - AD=15 - 12=3$。
综上，$BD=9$，$CD=3$。