《2025年学典四川九年级数学全一册北师大版》

1. 二次函数$y = x^{2}+2x - 5$有(D)
A.最大值$-5$
B.最小值$-5$
C.最大值$-6$
D.最小值$-6$

答案： D

2. 某航模组设计的火箭模型的升空高度$h(m)$与点火后的飞行时间$t(s)$之间满足函数表达式$h= -t^{2}+24t + 1$,则点火后$2s$该火箭模型的升空高度为(C)
A.$53m$
B.$47m$
C.$45m$
D.$44m$

答案： C

3. 已知二次函数$y= -\frac{1}{3}x^{2}+2$,当$1\leq x\leq5$时,$y$的最大值是(C)
A.$2$
B.$\frac{2}{3}$
C.$\frac{5}{3}$
D.$\frac{7}{3}$

答案： C

4. 已知二次函数$y= -x^{2}+4x + 5$,其中$-2\leq x\leq1$,则$y$有最大值为8。

答案： 8

5. 一位运动员投掷铅球,如果铅球运动时离地面的高度$y$(米)关于水平距离$x$(米)的函数表达式为$y= -\frac{1}{12}x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{5}{3}$,那么铅球运动过程中最高点离地面的距离为3米。

答案： 3

6. 如图,为了提醒司机安全驾驶,要在隧道中安装电子显示屏. 已知隧道截面为抛物线型,水平路面宽$AB = 16$米,抛物线顶点$C到AB的距离为12$米. 矩形显示屏$MNPQ的高MQ为1$米,根据计划,为了确保行车安全,显示屏底部距离地面至少$8$米,若距离左、右墙壁各留至少$1$米的维修空间,则该矩形显示屏$MNPQ的宽QP$的最大长度为6米.

答案： 6

7. 商店销售一种进价为$20$元/个的帽子,经调查发现,该种帽子每天的销售量$w$(个)与销售单价$x$(元)之间满足$w= -2x + 80(20\leq x\leq40)$,设销售这种帽子每天的利润为$y$元.
(1) 求$y与x$之间的函数关系式；
(2) 当销售单价定为多少元时,每天的利润最大？

答案：
(1) y = (x - 20)(-2x + 80) = -2x² + 120x - 1600 (20 ≤ x ≤ 40)
(2) y = -2x² + 120x - 1600 = -2(x - 30)² + 200
当 x = 30 时，y 最大 = 200
答：当销售单价定为 30 元时，每天的利润最大。

8. 如图,某小区花园新安装了一排音乐喷泉装置,其中位于中间的喷水装置$OA$的喷水能力最强,水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下,若喷出的水流高度为$ym$,水流与$OA之间的水平距离为xm$,则$y与x$之间满足二次函数关系. 经测量,喷水装置$OA的高度为3.5m$,水流最高处离喷水装置$OA的水平距离为3m$,离地面的竖直距离为$8m$.
(1) 求$y与x$之间的函数关系式；
(2) 若在音乐喷泉四周摆放花盆,不计其它因素,花盆需至少与喷水装置$OA$相距多远,才不会被喷出的水流击中？

答案：
(1)
因为抛物线的顶点坐标为$(3,8)$，
所以设$y = a(x - 3)^{2}+8$。
把$O(0,3.5)$代入$y = a(x - 3)^{2}+8$，
得$3.5=a(0 - 3)^{2}+8$，
$3.5 = 9a+8$，
$9a=-4.5$，
解得$a=-\frac{1}{2}$。
所以$y$与$x$之间的函数关系式为$y =-\frac{1}{2}(x - 3)^{2}+8$，
即$y=-\frac{1}{2}x^{2}+3x + 3.5(0\leqslant x\leqslant7)$。
(2)
令$y = 0$，则$-\frac{1}{2}(x - 3)^{2}+8 = 0$，
$-\frac{1}{2}(x - 3)^{2}=-8$，
$(x - 3)^{2}=16$，
$x - 3=\pm4$，
解得$x_{1}=7$，$x_{2}=-1$（舍去）。
所以花盆需至少与喷水装置$OA$相距$7m$，才不会被喷出的水流击中。