《2025年学典四川九年级数学全一册北师大版》

9. 如图,在直角坐标系中,二次函数的图象经过 $ A(-4,0) $,$ B(0,4) $,$ C(4,4) $ 三点。
(1) 求该二次函数的表达式；
(2) 若在该函数图象的对称轴上有一动点 $ D $,当 $ \triangle ABD $ 的周长最小时,求点 $ D $ 的坐标。

答案：
(1)$y=-\frac{1}{8}x^2+\frac{1}{2}x + 4$；
(2)$(2,3)$

10. 如图,已知平面直角坐标系中的四个点：$ A(0,2) $,$ B(1,0) $,$ C(3,1) $,$ D(2,3) $。二次函数 $ y = ax^{2} + bx + c $ 的图象经过其中任意三个点,当 $ a $ 的值最大时,二次函数的表达式为$y=\frac{5}{2}x^2-\frac{9}{2}x+2$。

答案： $y=\frac{5}{2}x^2-\frac{9}{2}x+2$

11. 如图,抛物线 $ y = ax^{2} + bx + c(a \neq 0) $ 与 $ x $ 轴相交于 $ A $,$ B $ 两点,其中点 $ A $ 的坐标为 $ (-3,0) $,点 $ B $ 的坐标为 $ (1,0) $,且点 $ (2,5) $ 在抛物线 $ y = ax^{2} + bx + c $ 上。
(1) 求抛物线的表达式；
(2) 点 $ C $ 为抛物线与 $ y $ 轴的交点。
① 点 $ P $ 在抛物线上,且 $ S_{\triangle POC} = 2S_{\triangle BOC} $,求点 $ P $ 的坐标；
② 设点 $ M $ 是线段 $ AC $ 上的动点,作 $ MN \perp x $ 轴交抛物线于点 $ N $,求线段 $ MN $ 长度的最大值。

答案：
(1) $y=x^2+2x-3$；
(2) ① $(2,5)$，$(-2,-3)$；② $\frac{9}{4}$。