《2025年学典四川九年级数学全一册北师大版》

9. 如图,将矩形纸片 $ABCD$ 折叠,使点 $B$ 与点 $D$ 重合,点 $A$ 落在点 $P$ 处,折痕为 $EF$。
(1) 求证：$\triangle PDE \cong \triangle CDF$；
(2) 若 $CD = 4cm$,$EF = 5cm$,求 $BC$ 的长。

答案：
(1)见解析；
(2)$\frac{16}{3}\ cm$

10. 如图,$\angle MON = 90^{\circ}$,矩形 $ABCD$ 的顶点 $A$,$B$ 分别在边 $OM$,$ON$ 上,当点 $B$ 在边 $ON$ 上运动时,点 $A$ 也随之在边 $OM$ 上运动,矩形 $ABCD$ 的形状保持不变,其中 $AB = 4$,$BC = 2$,运动过程中点 $D$ 到点 $O$ 的最大距离是______2+2√2。

答案： 2+2√2

11. 如图,在矩形 $ABCD$ 中,$AD = 16$,$AB = 6$,$E$ 为 $AD$ 的中点。点 $F$ 从点 $B$ 出发,以每秒 $1$ 个单位的速度沿边 $BC$ 向终点 $C$ 运动,连接 $AF$,$EF$,$CE$。设点 $F$ 运动的时间为 $t$ 秒。
(1) 当 $t$ 为何值时,$AF = CE$？
(2) 当 $\triangle CEF$ 为直角三角形时,求 $\triangle CEF$ 的面积。

答案：
(1) 以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立坐标系。则A(0,0)，B(6,0)，C(6,16)，D(0,16)，E为AD中点，E(0,8)。点F从B出发，t秒后F(6,t)。
AF=√[(6-0)²+(t-0)²]=√(36+t²)，CE=√[(6-0)²+(16-8)²]=10。
令AF=CE，即√(36+t²)=10，解得t=8。
(2) △CEF中，CE²=100，CF²=(16-t)²，EF²=36+(t-8)²。
情况1：∠E=90°，则CE²+EF²=CF²。
100+36+(t-8)²=(16-t)²，解得t=7/2。
此时CF=16-7/2=25/2，EF=√[36+(7/2-8)²]=15/2，面积=1/2×10×15/2=75/2。
情况2：∠F=90°，则CF²+EF²=CE²。
(16-t)²+36+(t-8)²=100，解得t=8。
此时CF=8，EF=6，面积=1/2×8×6=24。
综上，面积为24或75/2。
(1) t=8
(2) 24或75/2