《2025年学典四川九年级数学全一册北师大版》

1. 下列方程是一元二次方程的是 (D)
A.$3x^{2}+\frac{1}{x}= 0$
B.$2x - 3y + 1 = 0$
C.$(x - 3)(x - 2)= x^{2}$
D.$(3x - 1)(3x + 1)= 3$

答案： D

2. 方程$(x + 1)^{2}= x + 1$的正确解法是 (B)
A.化为$x + 1 = 1$
B.化为$(x + 1)(x + 1 - 1)= 0$
C.化为$x^{2}+3x + 2 = 0$
D.化为$x + 1 = 0$

答案： B

3. 对于任意实数$k$,关于$x的一元二次方程x^{2}-kx - 1 = 0$的根的情况是 (A)
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.无实数根
D.无法确定

答案： A

4. 若方程$(n - 2)x^{n^{2}-2}+3x + n = 0是关于x$的一元二次方程,则$n = $-2。

答案： -2

5. 已知一个三角形的两边长分别是$4和7$,第三边的长是方程$x^{2}-16x + 55 = 0$的根,则此三角形的周长是16。

答案： 16

6. 关于$x的一元二次方程(k - 1)x^{2}+6x + k^{2}+k - 2 = 0有一个根是0$,则$k$的值是$-2$。

答案： $-2$

7. 解下列方程：
(1)$x^{2}+3x + 1 = 0$(用公式法)；
(2)$6x^{2}-x - 12 = 0$(用配方法)；
(3)$x^{2}-6x + 9= (5 - 2x)^{2}$；
(4)$2x^{2}+3x - 4= \frac{5}{2x^{2}+3x}$。

答案： $(1)$ 用公式法解方程$x^{2}+3x + 1 = 0$
解：对于一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$，其求根公式为$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$。
在方程$x^{2}+3x + 1 = 0$中，$a = 1$，$b = 3$，$c = 1$。
先计算判别式$\Delta=b^{2}-4ac=3^{2}-4×1×1=9 - 4=5$。
将$a$、$b$、$\Delta$的值代入求根公式可得：
$x=\frac{-3\pm\sqrt{5}}{2×1}=\frac{-3\pm\sqrt{5}}{2}$
所以$x_{1}=\frac{-3 + \sqrt{5}}{2}$，$x_{2}=\frac{-3 - \sqrt{5}}{2}$。
$(2)$ 用配方法解方程$6x^{2}-x - 12 = 0$
解：
首先将二次项系数化为$1$：$x^{2}-\frac{1}{6}x - 2 = 0$，即$x^{2}-\frac{1}{6}x=2$。
然后配方，在等式两边加上一次项系数一半的平方$(\frac{-\frac{1}{6}}{2})^{2}=(\frac{-1}{12})^{2}=\frac{1}{144}$：
$x^{2}-\frac{1}{6}x+\frac{1}{144}=2+\frac{1}{144}$。
根据完全平方公式$(a - b)^2=a^{2}-2ab + b^{2}$，可得$(x-\frac{1}{12})^{2}=\frac{288 + 1}{144}=\frac{289}{144}$。
两边开平方得$x-\frac{1}{12}=\pm\frac{17}{12}$。
当$x-\frac{1}{12}=\frac{17}{12}$时，$x=\frac{17 + 1}{12}=\frac{3}{2}$；
当$x-\frac{1}{12}=-\frac{17}{12}$时，$x=\frac{-17 + 1}{12}=-\frac{4}{3}$。
所以$x_{1}=\frac{3}{2}$，$x_{2}=-\frac{4}{3}$。
$(3)$ 解方程$x^{2}-6x + 9=(5 - 2x)^{2}$
解：
将方程左边变形为完全平方$(x - 3)^{2}=(5 - 2x)^{2}$。
两边开平方得$x - 3=\pm(5 - 2x)$。
当$x - 3 = 5 - 2x$时，
移项得$x+2x=5 + 3$，
合并同类项得$3x=8$，
解得$x=\frac{8}{3}$。
当$x - 3=-(5 - 2x)$时，
即$x - 3=-5 + 2x$，
移项得$x-2x=-5 + 3$，
合并同类项得$-x=-2$，
解得$x = 2$。
所以$x_{1}=\frac{8}{3}$，$x_{2}=2$。
$(4)$ 解方程$2x^{2}+3x - 4=\frac{5}{2x^{2}+3x}$
解：
设$y = 2x^{2}+3x$，则原方程可化为$y - 4=\frac{5}{y}$。
方程两边同乘$y$得$y^{2}-4y - 5 = 0$。
因式分解得$(y - 5)(y+1)=0$。
则$y - 5 = 0$或$y + 1 = 0$。
当$y - 5 = 0$，即$2x^{2}+3x=5$时，
$2x^{2}+3x - 5 = 0$，
因式分解得$(2x + 5)(x - 1)=0$，
$2x+5 = 0$，解得$x=-\frac{5}{2}$；$x - 1 = 0$，解得$x = 1$。
当$y + 1 = 0$，即$2x^{2}+3x=-1$时，
$2x^{2}+3x + 1 = 0$，
因式分解得$(2x + 1)(x + 1)=0$，
$2x+1 = 0$，解得$x=-\frac{1}{2}$；$x + 1 = 0$，解得$x=-1$。
经检验，$x=-\frac{5}{2}$，$x = 1$，$x=-\frac{1}{2}$，$x=-1$都是原方程的根。
所以$x_{1}=-\frac{5}{2}$，$x_{2}=1$，$x_{3}=-\frac{1}{2}$，$x_{4}=-1$。

8. 已知关于$x的一元二次方程kx^{2}-2x - 1 = 0$有两个不相等的实数根,求$k$的取值范围。

答案： 答题卡：
解：
1. 根据一元二次方程的定义，系数$k \neq 0$。
2. 计算判别式$\Delta$：
$\Delta = b^{2} - 4ac = (-2)^{2} - 4 \cdot k \cdot (-1) = 4 + 4k$
3. 由于方程有两个不相等的实数根，所以$\Delta ＞ 0$，即：
$4 + 4k ＞ 0$
解得：
$k ＞ -1$
4. 综合以上两点，得出$k$的取值范围为：
$k ＞ -1$ 且 $k \neq 0$