《2025年学典四川九年级数学全一册北师大版》

9. 如图,$\triangle ABC$ 中,$\angle C = 90^{\circ}$,$\angle CAB$ 的平分线 $AD$ 与 $\angle ABC$ 的平分线 $BD$ 交于点 $D$,$DE\perp BC$ 于点 $E$,$DF\perp AC$ 于点 $F$。
(1) 求证：四边形 $CEDF$ 为正方形；
(2) 若 $AC = 6$,$BC = 8$,则 $CE$ 的长为______2。

答案： （1）证明：
过点$D$作$DG\perp AB$交$AB$于点$G$。
因为$AD$平分$\angle CAB$，$DE\perp BC$，$DF\perp AC$，
根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，
所以$DF = DG$，$DE = DG$，
所以$DF = DE$。
又因为$\angle C = 90^{\circ}$，$DE\perp BC$，$DF\perp AC$，
所以$\angle C=\angle DEC=\angle DFC = 90^{\circ}$，
根据矩形判定定理：有三个角是直角的四边形是矩形，
所以四边形$CEDF$是矩形。
又因为$DF = DE$，
根据正方形判定定理：一组邻边相等的矩形是正方形，
所以四边形$CEDF$为正方形。
（2）因为四边形$CEDF$为正方形，
所以$CF = CE = EF = DE$。
设$CE = x$，则$BE = 8 - x$。
因为$BD$平分$\angle ABC$，$DE\perp BC$，$DG\perp AB$，
根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，
所以$DE = DG = x$。
在$Rt\triangle BGD$和$Rt\triangle BED$中，
$\begin{cases}BD = BD\\DE = DG\end{cases}$
根据$HL$定理：两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等，那么这两个直角三角形全等，
所以$Rt\triangle BGD\cong Rt\triangle BED$，
所以$BG = BE = 8 - x$。
在$Rt\triangle ABC$中，$AC = 6$，$BC = 8$，
根据勾股定理：$AB=\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}=\sqrt{6^{2}+8^{2}} = 10$，
所以$AG = AB - BG = 10-(8 - x)=2 + x$。
在$Rt\triangle AFD$和$Rt\triangle AGD$中，
$\begin{cases}AD = AD\\DF = DG\end{cases}$
根据$HL$定理：两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等，那么这两个直角三角形全等，
所以$Rt\triangle AFD\cong Rt\triangle AGD$，
所以$AF = AG = 2 + x$。
又因为$AF + FC = AC$，$FC = CE = x$，
所以$(2 + x)+x = 6$，
$2+2x = 6$，
$2x = 4$，
解得$x = 2$，
即$CE$的长为$2$。
故答案为$2$。

10. 如图,$\triangle ABC$ 中,$AB = 8$,$AC = 4$,以 $BC$ 为边在 $\triangle ABC$ 外作正方形 $BCDE$,$BD$,$CE$ 交于点 $O$,连接 $OA$,则线段 $OA$ 长的最大值为______6√2。

答案： 6√2

11. 如图,四边形 $ABCD$ 为正方形,$E$ 为对角线 $AC$ 上一点,连接 $DE$,$BE$。
(1) 求证：$BE = DE$；
(2) 过点 $E$ 作 $EF\perp DE$,交边 $BC$ 于点 $F$,以 $DE$,$EF$ 为邻边作矩形 $DEFG$,连接 $CG$。
① 求证：矩形 $DEFG$ 是正方形；
② 若正方形 $ABCD$ 的边长为 $9$,$CG = 3\sqrt{2}$,求正方形 $DEFG$ 的边长。

答案：
(1) 见解析；
(2) ① 见解析；② $3\sqrt{5}$。