《2025年学典四川九年级数学全一册北师大版》

9. 已知关于$a,b的二元一次方程组\begin{cases}2a+bx= 3\\ax+b= 1\end{cases} $,其中$x是一元二次方程x^{2}-2x-24= 0$的小于0的根,求$a,b$的值.

答案： 首先解方程$x^{2} - 2x - 24 = 0$。
因式分解得：$(x - 6)(x + 4) = 0$。
解得：$x_{1} = 6$，$x_{2} = - 4$。
由于题目要求$x$是小于0的根，所以$x = - 4$。
将$x = - 4$代入方程组$\begin{cases}2a + bx = 3 \\ax + b = 1\end{cases}$
得到：$\begin{cases}2a - 4b = 3 \quad (1) \\-4a + b = 1 \quad (2)\end{cases}$
将方程
(2)乘以2得：$-8a + 2b = 2 \quad (3)$
将方程
(1)与方程
(3)相加得：$-6a - 2b = 5 \quad (4)$
将方程
(2)与方程
(4)联立求解，得：
$\begin{cases}-4a + b = 1 \\-6a - 2b = 5\end{cases}$
解得：$\begin{cases}a = - \frac{1}{2} \\b = -1\end{cases}$

10. (1)已知菱形$ABCD$的一条对角线长为6,边$AB的长是关于x的方程x^{2}-9x+20= 0$的一个根,则菱形$ABCD$的面积为24；
(2)若$x,y满足x^{2}= 4y+t,y^{2}= 4x+t且x\neq y$($t$为常数),则称点$M(x,y)$为“和谐点”.一次函数$y= 2x+b(-3\leq x\leq1)$的图象上存在“和谐点”,则$b$的取值范围为$-7≤b≤5$.

答案： 24；$-7≤b≤5$

11. 解方程：
(1)$(x+3)^{2}+3(x+3)-4= 0$；
(2)$x^{2}-2ax+a^{2}-b^{2}= 0$；
(3)$\frac{x-5}{x^{2}-1}+1= \frac{3}{x+1}$；
(4)$x^{2}+\frac{1}{x^{2}}+2x+\frac{2}{x}= 6$.

答案：
(1)设$y = x + 3$，原方程化为$y^2 + 3y - 4 = 0$，因式分解得$(y + 4)(y - 1)=0$，解得$y=-4$或$y=1$。当$y=-4$时，$x + 3=-4$，$x=-7$；当$y=1$时，$x + 3=1$，$x=-2$。$\therefore x_1=-7$，$x_2=-2$。
(2)原方程化为$(x - a)^2 - b^2 = 0$，因式分解得$(x - a - b)(x - a + b)=0$，解得$x - a - b=0$或$x - a + b=0$。$\therefore x_1=a + b$，$x_2=a - b$。
(3)方程两边同乘$(x - 1)(x + 1)$得$x - 5 + x^2 - 1 = 3(x - 1)$，整理得$x^2 - 2x - 3=0$，因式分解得$(x - 3)(x + 1)=0$，解得$x=3$或$x=-1$。经检验，$x=-1$是增根，$\therefore x=3$。
(4)设$t = x + \frac{1}{x}$，则$x^2 + \frac{1}{x^2}=t^2 - 2$，原方程化为$t^2 - 2 + 2t=6$，即$t^2 + 2t - 8=0$，因式分解得$(t + 4)(t - 2)=0$，解得$t=-4$或$t=2$。当$t=2$时，$x + \frac{1}{x}=2$，即$(x - 1)^2=0$，$x=1$；当$t=-4$时，$x + \frac{1}{x}=-4$，即$x^2 + 4x + 1=0$，解得$x=-2\pm\sqrt{3}$。$\therefore x_1=1$，$x_2=-2 + \sqrt{3}$，$x_3=-2 - \sqrt{3}$。