《2025年学典四川九年级数学全一册北师大版》

1. 如图,在$\triangle ABC$中,$D是AB$上一点,且$AC^{2}= AD\cdot AB$,则(A)

A.$\triangle ADC\backsim\triangle ACB$
B.$\triangle BDC\backsim\triangle BCA$
C.$\triangle ADC\backsim\triangle CDB$
D.无相似三角形

答案： A

2. 如图,点$P在\triangle ABC的边AB$上,要判断$\triangle ACP\backsim\triangle ABC$,添加一个条件错误的是(D)

A.$\angle APC= \angle ACB$
B.$\angle ACP= \angle B$
C.$\frac{AP}{AC}= \frac{AC}{AB}$
D.$\frac{AC}{CP}= \frac{AB}{BC}$

答案： D

3. 与如图所示的$\triangle ABC$相似的是(A)

答案： A

4. 如图,对角线$AC$,$BD相交于点O$,且将四边形$ABCD$分成甲、乙、丙、丁四个三角形. 若$OA:OC= OB:OD$,则相似的两个三角形是甲和丙.

答案： 甲和丙

5. 在$\triangle ABC和\triangle DEF$中,$\angle A= \angle D= 105^{\circ}$,$AC= 4\mathrm{cm}$,$AB= 6\mathrm{cm}$,$DE= 3\mathrm{cm}$,当$DF= $$2\mathrm{cm}$或$\dfrac{9}{2}\mathrm{cm}$时,$\triangle ABC\backsim\triangle DEF$.

答案： $2\mathrm{cm}$或$\dfrac{9}{2}\mathrm{cm}$

6. 如图,在$\triangle ABC$中,$AB= 8$,$AC= 6$,点$D在AC$上,且$AD= 2$,如果要在$AB上找一点E$,使$\triangle ADE与\triangle ABC$相似,那么$AE$的长为$\frac{3}{2}$或$\frac{8}{3}$.

答案： $\frac{3}{2}$或$\frac{8}{3}$

7. 如图,已知正方形$ABCD的边长AD= 4$,$PC= 1$,$CQ= DQ= 2$. 求证：$\triangle ADQ\backsim\triangle QCP$.

答案： 证明：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠D=∠C=90°，AD=CD=4。
∵CQ=DQ=2，
∴DQ=CQ=2，AD=4。
∵PC=1，
∴QC=2，PC=1。
∴$\frac{AD}{QC}=\frac{4}{2}=2$，$\frac{DQ}{PC}=\frac{2}{1}=2$。
∴$\frac{AD}{QC}=\frac{DQ}{PC}$。
又
∵∠D=∠C，
∴△ADQ∽△QCP（两边成比例且夹角相等的两个三角形相似）。

8. 如图,在$\triangle ABC$中,点$D是AB$边上一点,连接$CD$. 已知$AD= 4$,$BD= 5$,$AC= 6$,$CD= 3$,求线段$BC$的长.

答案： 在△ABC中，点D在AB边上，AD=4，BD=5，AC=6，CD=3。
1. 计算AB：AB=AD+BD=4+5=9。
2. 验证△ADC与△ACB的边比及夹角：
AD/AC=4/6=2/3，AC/AB=6/9=2/3，故AD/AC=AC/AB。
∠A为△ADC与△ACB的公共角。
3. 判定相似：由两边成比例且夹角相等（SAS），得△ADC∽△ACB。
4. 由相似三角形对应边成比例：CD/BC=AD/AC。
即3/BC=2/3，解得BC=9/2。
BC的长为9/2。