《2025年学典四川九年级数学全一册北师大版》

1. 在矩形 $ABCD$ 中,$AC$,$BD$ 相交于点 $O$,若 $\triangle AOB$ 的面积为 $2$,则矩形 $ABCD$ 的面积为(C)
A.$4$
B.$6$
C.$8$
D.$10$

答案： C

2. 四边形 $ABCD$ 中,$AC$ 和 $BD$ 是对角线,依据下列各图中所标的线段长度或角的度数,四边形 $ABCD$ 不一定为矩形的是(D)

答案： D

3. 如图,矩形纸片 $ABCD$ 中,点 $E$ 是 $CD$ 的中点,连接 $AE$,按以下步骤作图：①分别以点 $A$,$E$ 为圆心,大于 $\frac{1}{2}AE$ 的长为半径作弧,两弧相交于点 $M$,$N$；②作直线 $MN$,且直线 $MN$ 刚好经过点 $B$。若 $DE = 2$,则 $BC$ 的长为(C)


A.$2$
B.$\sqrt{3}$
C.$2\sqrt{3}$
D.$4$

答案： C

4. 矩形的面积为 $12cm^{2}$,一条边长为 $3cm$,则矩形的对角线长为5 $cm$。

答案： 5

5. 如图,点 $O$ 是菱形 $ABCD$ 对角线的交点,$DE// AC$,$CE// BD$,连接 $OE$,若 $AC = 12$,$BD = 16$,则 $OE$ 的长为______10。

答案： 10

6. 如图,已知点 $A(0,2\sqrt{3})$,点 $B(2,0)$,点 $P$ 为线段 $AB$ 上一个动点,作 $PM\perp y$ 轴于点 $M$,$PN\perp x$ 轴于点 $N$,连接 $MN$,当 $MN$ 的长取最小值时,四边形 $OMPN$ 的面积为$\frac{3\sqrt{3}}{4}$。

答案： 3√3/4

7. 如图,在 $□ AMBC$ 中,$O$ 为 $AC$ 的中点,连接 $BO$ 并延长交 $MA$ 的延长线于点 $D$,连接 $CD$,$AB$。若 $BD = BM$,求证：四边形 $ABCD$ 是矩形。

答案： 证明：
∵四边形$AMBC$是平行四边形，
∴$AM // BC$，$AM=BC$，$∠DAO=∠BCO$（两直线平行，内错角相等）。
∵$O$为$AC$中点，
∴$AO=OC$。
在$\triangle AOD$和$\triangle COB$中，
$\begin{cases} ∠DAO=∠BCO \\AO=CO \\∠AOD=∠COB \end{cases}$，
∴$\triangle AOD \cong \triangle COB(ASA)$。
∴$AD=BC$，$OD=OB$。
∵$AM=BC$，
∴$AD=AM$。
∵$AD // BC$（$AD$为$MA$延长线，$MA // BC$），且$AD=BC$，
∴四边形$ABCD$是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。
∵四边形$AMBC$是平行四边形，
∴$MB=AC$（平行四边形对边相等）。
∵$BD=BM$，
∴$BD=AC$。
∵四边形$ABCD$是平行四边形，且$AC=BD$，
∴四边形$ABCD$是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）。
结论：四边形$ABCD$是矩形。

8. 如图,在四边形 $ABCD$ 中,$AB = CD$,$AD = BC$,对角线 $AC$,$BD$ 相交于点 $O$,且 $OA = OB$。
(1) 求证：四边形 $ABCD$ 是矩形；
(2) 若 $\angle AOB = 60^{\circ}$,$AB = 2$,求矩形 $ABCD$ 的面积。

答案：
(1) 证明：
因为$AB = CD$，$AD = BC$，
所以四边形$ABCD$是平行四边形，
所以$OA=OC=\frac{1}{2}AC$，$OB=OD=\frac{1}{2}BD$。
因为$OA = OB$，
所以$AC = BD$，
所以平行四边形$ABCD$是矩形。
(2) 解：
因为$OA=OB$，$\angle AOB = 60^\circ$，
所以$\triangle AOB$是等边三角形。
所以$OA=OB=AB = 2$，
所以$BD=2OB=4$。
由勾股定理可得：
$AB^2+AD^2=BD^2$，
即：
$2^2+AD^2=4^2$
$4+AD^2=16$
$AD^2=12$
$AD=2\sqrt{3}$
所以矩形$ABCD$的面积$=AB× AD=2×2\sqrt{3}=4\sqrt{3}$。