《2025年学典四川九年级数学全一册北师大版》

1. 下列一元二次方程中,没有实数根的是(C)
A.$x^{2}+2x - 1 = 0$
B.$x^{2}+2\sqrt{2}x + 2 = 0$
C.$x^{2}+\sqrt{2}x + 1 = 0$
D.$-x^{2}+x + 2 = 0$

答案： C

2. 关于$x的一元二次方程x^{2}+ax - 1 = 0$的根的情况是(D)
A.没有实数根
B.只有一个实数根
C.有两个相等的实数根
D.有两个不相等的实数根

答案： D

3. 已知$a$,$b$,$c$为常数,点$P(a,c)$在第四象限,则关于$x的一元二次方程ax^{2}+bx + c = 0$的根的情况为(B)
A.有两个相等的实数根
B.有两个不相等的实数根
C.没有实数根
D.无法确定

答案： B

4. 关于$x的一元二次方程(m - 1)x^{2}+2x + 1 = 0$有两个不相等的实数根,那么$m$的取值范围是$m ＜ 2$且$m \neq 1$.

答案： m的取值范围是$m ＜ 2$且$m \neq 1$。（由于本题非选择题，故无ABCD选项）

5. 若关于$x的一元二次方程kx^{2}-4x - 2 = 0$有两个实数根,则$k$的取值范围是$k\geq -2$且$k\neq 0$.

答案： 由于本题为填空题，没有选项，故无答案选项。

6. 已知关于$x的一元二次方程(a + c)x^{2}+2bx+(a - c)= 0$有两个相等的实数根,其中$a$,$b$,$c分别为\triangle ABC$三边的长,则$\triangle ABC$的形状是直角三角形.

答案： 直角

7. (1)已知关于$x的方程4x^{2}-(k + 2)x + k - 1 = 0$有两个相等的实数根,求$k$的值；
(2)若关于$x的一元二次方程ax^{2}+2x-\frac{1}{2}= 0(a ＜ 0)$有两个不相等的实数根,求$a$的取值范围；
(3)已知关于$x的一元二次方程x^{2}+(2k - 1)x + k^{2}-1 = 0$无实数根,求关于$y的一元二次方程y^{2}+2y-\frac{1}{4}k = 0$的根的情况.

答案： 7.
(1) 解：
由于方程 $4x^2 - (k + 2)x + k - 1 = 0$ 有两个相等的实数根，根据判别式 $\Delta = b^2 - 4ac$，我们有：
$\Delta = [-(k + 2)]^2 - 4 × 4 × (k - 1) = 0$
$\Rightarrow (k + 2)^2 - 16(k - 1) = 0$
$\Rightarrow k^2 + 4k + 4 - 16k + 16 = 0$
$\Rightarrow k^2 - 12k + 20 = 0$
$\Rightarrow (k - 2)(k - 10) = 0$
$\Rightarrow k = 2 或 k = 10$
(2) 解：
由于方程 $ax^2 + 2x - \frac{1}{2} = 0$（$a ＜ 0$）有两个不相等的实数根，根据判别式 $\Delta = b^2 - 4ac$，我们有：
$\Delta = 2^2 - 4 × a × \left(-\frac{1}{2}\right) ＞ 0$
$\Rightarrow 4 + 2a ＞ 0$
$\Rightarrow a ＞ -2$
由于 $a ＜ 0$，因此 $a$ 的取值范围是 $-2 ＜ a ＜ 0$。
(3) 解：
由于方程 $x^2 + (2k - 1)x + k^2 - 1 = 0$ 无实数根，根据判别式 $\Delta = b^2 - 4ac$，我们有：
$\Delta = (2k - 1)^2 - 4 × 1 × (k^2 - 1) ＜ 0$
$\Rightarrow 4k^2 - 4k + 1 - 4k^2 + 4 ＜ 0$
$\Rightarrow -4k + 5 ＜ 0$
$\Rightarrow k ＞ \frac{5}{4}$
对于方程 $y^2 + 2y - \frac{1}{4}k = 0$，其判别式为：
$\Delta = 2^2 - 4 × 1 × \left(-\frac{1}{4}k\right) = 4 + k$
由于 $k ＞ \frac{5}{4}$，则 $\Delta = 4 + k ＞ 4 + \frac{5}{4} = \frac{21}{4} ＞ 0$。
因此，方程 $y^2 + 2y - \frac{1}{4}k = 0$ 有两个不相等的实数根。

8. 我们规定：对于任意实数$a$,$b$,$c$,$d$,有$[a,b]*[c,d]= ac - bd$,其中等式右边是通常的乘法和减法运算,如：$[3,2]*[5,1]= 3×5 - 2×1 = 13$.
(1)求$[-4,3]*[2,-6]$的值；
(2)已知关于$x的方程[x,2x - 1]*[mx + 1,m]= 0$有两个实数根,求$m$的取值范围.

答案：
(1) 根据定义，$[-4,3]*[2,-6] = (-4) × 2 - 3 × (-6) = -8 + 18 = 10$。
(2) 根据定义，$[x,2x - 1]*[mx + 1,m] = x(mx + 1) - (2x - 1)m = 0$。
整理得：$mx^{2} + (1 - 2m)x + m = 0$。
由于方程有两个实数根，必须满足以下条件：
一是$m \neq 0$，如果 $m = 0$，方程退化为一次方程。
二是判别式 $\Delta \geq 0$，即 $(1 - 2m)^{2} - 4 \cdot m \cdot m \geq 0$。
化简判别式得：$1 - 4m \geq 0$，即 $m \leq \frac{1}{4}$。
综合以上两个条件，得出 $m$ 的取值范围是 $m \leq \frac{1}{4}$ 且 $m \neq 0$。