《2025年学典四川九年级数学全一册北师大版》

9. 我们定义一种新的运算“$*$”: $a*b = a^{2}-ab$,例如:$( - 3)*2 = (-3)^{2}-(-3)×2 = 15$.
(1)若$x*(-2) = 2x + 1$,求$x$的值;
(2)若$3*[x*(-2)] = 0$,求$x$的值.

答案：
(1)由新运算定义得：$x*(-2)=x^2 - x×(-2)=x^2 + 2x$
已知$x*(-2)=2x + 1$，则$x^2 + 2x=2x + 1$
移项化简：$x^2=1$
解得$x=1$或$x=-1$
(2)先计算$x*(-2)=x^2 + 2x$，则$3*[x*(-2)]=3*(x^2 + 2x)$
由新运算定义得：$3*(x^2 + 2x)=3^2 - 3(x^2 + 2x)=9 - 3(x^2 + 2x)$
已知$3*[x*(-2)]=0$，则$9 - 3(x^2 + 2x)=0$
化简得：$x^2 + 2x - 3=0$
配方：$x^2 + 2x + 1=4$，即$(x + 1)^2=4$
开平方：$x + 1=\pm2$
解得$x=1$或$x=-3$
(1)$x=1$或$x=-1$；
(2)$x=1$或$x=-3$

10. 若一元二次方程$x^{2}-2x - 3599 = 0的两根为a,b$,且$a ＞ b$,则$2a - b$的值为______181.

答案： 181

11. 有$n$个方程:$x^{2}+2x - 8 = 0$;$x^{2}+2×2x - 8×2^{2} = 0$;…$$;$x^{2}+2nx - 8n^{2} = 0$.
小静同学解第一个方程$x^{2}+2x - 8 = 0$的步骤为:“①$x^{2}+2x = 8$;②$x^{2}+2x + 1 = 8 + 1$;③$(x + 1)^{2} = 9$;④$x + 1 = \pm 3$;⑤$x = 1\pm 3$;⑥$x_{1} = 4,x_{2} = -2$.”
(1)小静的解法是从步骤⑤开始出现错误的;
(2)用配方法解第$n个方程x^{2}+2nx - 8n^{2} = 0$. (用含$n$的式子表示方程的根)

答案：
(1) 小静的解法是从步骤⑤开始出现错误的。
(2)
① $x^{2}+2nx = 8n^{2}$
② $x^{2}+2nx + n^{2}= 8n^{2}+ n^{2}$
③ $(x + n)^{2}= 9n^{2}$
④ $x + n = \pm 3n$
⑤ $x = -n \pm 3n$
⑥ $x_{1} = -4n$，$x_{2} = 2n$