《2025年学典四川九年级数学全一册北师大版》

9. (1)如图,有一块三角形余料 $ ABC $,已知它的高 $ AH = 40 mm $,边 $ BC = 80 mm $,要把它加工成一个矩形,使矩形的一边 $ EF $ 落在 $ BC $ 上,其余两个顶点 $ D $,$ G $ 分别在 $ AB $,$ AC $ 上,且 $ DG = 2DE $,求矩形 $ DEFG $ 的面积；

(2)如图,$ \triangle ABC $ 中,$ AB = 8 cm $,$ AC = 16 cm $,点 $ P $ 从点 $ A $ 出发,以 $ 2 cm/s $ 的速度沿 $ AB $ 向点 $ B $ 运动,点 $ Q $ 从点 $ C $ 同时出发,以 $ 3 cm/s $ 的速度沿 $ CA $ 向点 $ A $ 运动,当其中一个动点到达终点时,另一个动点也相应停止运动,设运动时间为 $ t s $,当 $ \triangle APQ $ 与 $ \triangle ABC $ 相似时,$ t $ 的值是多少？

答案：
(1)$800mm^2$；
(2)$t=\frac{16}{7}$或$4$。

10. 如图,在 $ □ ABCD $ 中,$ AC $ 与 $ BD $ 交于点 $ O $,将 $ \triangle ABO $ 沿 $ AC $ 所在的直线翻折得到 $ \triangle AEO $,连接 $ ED $,$ EB $,且 $ EB $ 分别与 $ AC $,$ AD $ 交于 $ F $,$ H $ 两点,$ OC = 2ED $,则下列结论：① $ \angle BED = 90^{\circ} $；② $ EH:HF:BF = 2:3:5 $；③若 $ OE \perp AD $,则 $ BF^2 = CF \cdot OF $；④ $ \triangle OED $ 为等边三角形,其中正确的有①②③.(填序号)

答案： ①②③

11. 如图,在平面直角坐标系中,四边形 $ ABCD $ 是菱形. $ OA $,$ OB $ 的长是一元二次方程 $ x^2 - 14x + 48 = 0 $ 的两个根,且 $ OA ＞ OB $. 连接 $ OD $,点 $ E $ 为 $ x $ 轴负半轴上的点,若 $ \triangle AOE $ 与 $ \triangle DAO $ 相似,求点 $ E $ 的坐标.

答案： 1. 解方程$x^2 - 14x + 48 = 0$，因式分解得$(x-6)(x-8)=0$，解得$x=6$或$x=8$。
因$OA＞OB$，故$OA=8$，$OB=6$。
2. 确定菱形顶点坐标：
$A(0,8)$（$OA=8$，$y$轴正半轴），$B(-6,0)$（$OB=6$，$x$轴负半轴）。
菱形边长$AB=\sqrt{(-6-0)^2+(0-8)^2}=\sqrt{36+64}=10$。
$AD// BC$且$AD=BC=10$，$B(-6,0)$，则$C(4,0)$（$BC=10$），$D(10,8)$（$AD=10$，$y=8$）。
3. 分析$\triangle AOE$与$\triangle DAO$相似：
$\triangle DAO$中，$A(0,8)$，$D(10,8)$，$O(0,0)$，$\angle DAO=90^\circ$（$AD\perp AO$），$AD=10$，$AO=8$。
$\triangle AOE$中，$E(e,0)$（$e＜0$，$x$轴负半轴），$\angle AOE=90^\circ$（$AO\perp OE$），$AO=8$，$OE=-e$。
4. 相似条件：直角三角形对应边成比例$\frac{AO}{AD}=\frac{OE}{AO}$。
$\frac{8}{10}=\frac{-e}{8}$，解得$-e=\frac{64}{10}=\frac{32}{5}$，$e=-\frac{32}{5}$。
点$E$的坐标为$\left(-\frac{32}{5},0\right)$。