《2025年学典四川九年级数学全一册北师大版》

1. 已知点 $ M(2,a) $ 在反比例函数 $ y = \frac{k}{x} $ 的图象上,其中 $ a,k $ 为常数,且 $ k ＞ 0 $,则点 $ M $ 一定在(A)
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限

答案： A

2. 如果 $ 100N $ 的压力 $ F $ 作用于物体上,产生的压强 $ p $ 要大于 $ 1000Pa $,那么下列关于物体受力面积 $ S(m^2) $ 的说法正确的是(D)
A.$ S ＞ 10m^2 $
B.$ S ＜ 10m^2 $
C.$ S ＞ 0.1m^2 $
D.$ S ＜ 0.1m^2 $

答案： D

3. 在同一直角坐标系中,函数 $ y = \frac{-k}{x} $ 和 $ y = kx - k(k \neq 0) $ 的图象可能是(B)

答案： B

4. 若 $ y = (n^2 + 2n)x^{n^2 + n - 1} $ 是反比例函数,则 $ n $ 的值为-1。

答案： -1

5. 如图,已知点 $ A $ 是反比例函数 $ y = \frac{k}{x}(x ＜ 0) $ 图象上一点,$ AB \perp y $ 轴于点 $ B $,且 $ \triangle AOB $ 的面积为 $ 3 $,则 $ k $ 的值为-6。

答案： -6

6. 已知反比例函数 $ y = \frac{k - 2}{x} $,$ (x_1,y_1) $,$ (x_2,y_2) $ 为其图象上两点,若 $ x_1 ＜ 0 ＜ x_2 $,$ y_1 ＞ y_2 $,则 $ k $ 的取值范围为$k ＜ 2$。

答案： $k ＜ 2$

7. 如图,已知反比例函数 $ y = \frac{k}{x} $ 的图象与一次函数 $ y = ax + b $ 的图象交于点 $ A(1,4) $ 和点 $ B(m,-2) $。
(1) 求这两个函数的表达式；
(2) 如果点 $ C $ 与点 $ A $ 关于 $ x $ 轴对称,求 $ \triangle ABC $ 的面积。

答案：
(1)反比例函数$ y = \frac{4}{x} $，一次函数$ y = 2x + 2 $；
(2)$ 12 $。

8. 如图,一次函数 $ y_1 = -x - 1 $ 的图象与反比例函数 $ y_2 = \frac{k}{x} $ 的图象交于 $ A(-2,m) $,$ B $ 两点。
(1) 求 $ m $ 的值与反比例函数的表达式；
(2) 若 $ y_1 ＞ y_2 $,求 $ x $ 的取值范围。

答案：
(1) $ m = 1 $，$ y_2 = -\frac{2}{x} $；
(2) $ x ＜ -2 $ 或 $ 0 ＜ x ＜ 1 $。

9. 如图,一次函数 $ y_1 = x + 3 $ 的图象与坐标轴交 $ A $,$ B $ 两点,与反比例函数 $ y_2 = \frac{m}{x}(m ＞ 0) $ 的图象交于 $ C(1,n) $,$ D $ 两点。
(1) 求 $ m $ 的值以及点 $ D $ 的坐标；
(2) 在 $ x $ 轴是否存在一点 $ P $,使 $ S_{\triangle ACP} = 2S_{\triangle OCD} $？若存在,请求出点 $ P $ 的坐标；若不存在,请说明理由。

答案：
(1)将点$ C(1,n) $代入$ y_1 = x + 3 $，得$ n = 1 + 3 = 4 $，故$ C(1,4) $。
将$ C(1,4) $代入$ y_2 = \frac{m}{x} $，得$ 4 = \frac{m}{1} $，解得$ m = 4 $。
联立$ \begin{cases} y = x + 3 \\ y = \frac{4}{x} \end{cases} $，得$ x + 3 = \frac{4}{x} $，即$ x^2 + 3x - 4 = 0 $。
解得$ x_1 = 1 $（对应点$ C $），$ x_2 = -4 $。
将$ x = -4 $代入$ y = x + 3 $，得$ y = -1 $，故$ D(-4,-1) $。
(2) $ S_{\triangle OCD} = \frac{1}{2} |x_C y_D - x_D y_C| = \frac{1}{2} |1 × (-1) - (-4) × 4| = \frac{1}{2} | -1 + 16 | = \frac{15}{2} $，则$ 2S_{\triangle OCD} = 15 $。
设$ P(p,0) $，$ A(-3,0) $（由$ y_1 = x + 3 $令$ y=0 $得$ x=-3 $），$ C(1,4) $。
$ S_{\triangle ACP} = \frac{1}{2} × |AP| × |y_C| = \frac{1}{2} × |p + 3| × 4 = 2|p + 3| $。
令$ 2|p + 3| = 15 $，得$ |p + 3| = \frac{15}{2} $，解得$ p = \frac{9}{2} $或$ p = -\frac{21}{2} $。
故存在点$ P $，坐标为$ \left( \frac{9}{2}, 0 \right) $或$ \left( -\frac{21}{2}, 0 \right) $。
(1) $ m = 4 $，$ D(-4,-1) $；
(2) 存在，$ P \left( \frac{9}{2}, 0 \right) $或$ \left( -\frac{21}{2}, 0 \right) $。