《2025年学典四川九年级数学全一册北师大版》

1. 对于二次函数 $ y = 2(x + 1)(x - 3) $,下列说法正确的是(D)
A.图象的开口向下
B.图象的对称轴是直线 $ x = -1 $
C.当 $ x ＞ 1 $ 时,$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小
D.当 $ x ＜ 1 $ 时,$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小

答案： D

2. 若二次函数 $ y = ax^2 + bx + c(a \neq 0) $ 的图象如图所示,则下列结论正确的是(C)

A.$ a ＞ 0 $
B.$ c ＞ 0 $
C.$ ac ＞ 0 $
D.$ bc ＜ 0 $

答案： C

3. 如图,在平面直角坐标系中,有两条位置确定的抛物线,它们的对称轴相同,则下列关系不正确的是(C)

A.$ k = n $
B.$ h = m $
C.$ k ＜ n $
D.$ h ＜ 0 $,$ k ＜ 0 $

答案： C

4. 已知二次函数 $ y = ax^2 + bx + c $ 的图象如图所示,则 $ a $＜$ 0 $；$ b $＞$ 0 $；$ c $=$ 0 $；$ a - b + c $＜$ 0 $；$ a + b + c $＞$ 0 $；$ a + 2b + 4c $＞$ 0 $。(填“$ ＞ $”“$ ＜ $”或“$ = $”)

答案： ＜；＞；=；＜；＞；＞

5. 如图是二次函数 $ y = ax^2 + bx + c $ 图象的一部分,则 $ abc $＞$ 0 $。(填“$ ＞ $”“$ ＜ $”或“$ = $”)

答案： $＞$

6. 将抛物线 $ y = 2x^2 - 4x + 3 $ 绕坐标原点旋转 $ 180^\circ $ 后所得的新抛物线的函数表达式是$y = -2x^2 - 4x - 3$。

答案： 新抛物线的函数表达式是 $y = -2x^2 - 4x - 3$。

7. 已知二次函数 $ y = x^2 - (m - 1)x - m $。
(1) 若图象经过原点,求 $ m $ 的值；
(2) 若图象的对称轴是 $ y $ 轴,求 $ m $ 的值；
(3) 若图象的顶点在 $ x $ 轴上,求 $ m $ 的值。

答案：
(1) 因为图象经过原点，所以当 $x = 0$ 时，$y = 0$。
代入得：$0 = 0^2 - (m - 1) \cdot 0 - m$，
即：$m = 0$。
(2) 二次函数 $y = ax^2 + bx + c$ 的对称轴为 $x = -\frac{b}{2a}$。
对于 $y = x^2 - (m - 1)x - m$，其对称轴为 $x = \frac{m - 1}{2}$。
因为对称轴是 $y$ 轴，即 $x = 0$，所以 $\frac{m - 1}{2} = 0$，
解得：$m = 1$。
(3) 二次函数 $y = ax^2 + bx + c$ 的顶点坐标为 $\left( -\frac{b}{2a}, c - \frac{b^2}{4a} \right)$。
对于 $y = x^2 - (m - 1)x - m$，其顶点坐标为 $\left( \frac{m - 1}{2}, -m - \frac{(m - 1)^2}{4} \right)$。
因为顶点在 $x$ 轴上，所以顶点的 $y$ 坐标为 0，即：
$-m - \frac{(m - 1)^2}{4} = 0$
解此方程得：
$m = -1$

8. 已知抛物线 $ y = x^2 + mx + 3 $ 的对称轴为直线 $ x = -2 $。
(1) 求 $ m $ 的值；
(2) 如果将此抛物线向右平移 $ n $ 个单位后,新的抛物线经过点 $ (6, 8) $,求新抛物线与 $ y $ 轴的交点坐标。

答案：
(1) 对于抛物线 $y = ax^2 + bx + c$，其对称轴为 $x = -\frac{b}{2a}$。
由题知，$a = 1$，$b = m$，对称轴为 $x = -2$。
代入得：
$-\frac{m}{2(1)} = -2$
即：
$-\frac{m}{2} = -2$
解得：
$m = 4$
(2) 已知原抛物线方程为 $y = x^2 + 4x + 3$，可以写成顶点式：
$y = (x + 2)^2 - 1$
抛物线向右平移$n$个单位后，新的抛物线方程为：
$y = (x + 2 - n)^2 - 1$
因为新的抛物线经过点$(6, 8)$，代入得：
$8 = (6 + 2 - n)^2 - 1$
即：
$8 = (8 - n)^2 - 1$
解此方程得：
$n = 5 \quad 或 \quad n = 11$
当$n = 5$时，新抛物线方程为：
$y = (x - 3)^2 - 1$
令$x = 0$，解得与$y$轴的交点坐标为$(0, 8)$。
当$n = 11$时，新抛物线方程为：
$y = (x - 9)^2 - 1$
令$x = 0$，解得与$y$轴的交点坐标为$(0, 80)$。
新抛物线与$y$轴的交点坐标为$(0, 8)$或$(0, 80)$。