《2025年学典四川九年级数学全一册北师大版》

10. 如图,将矩形 $ OABC $ 置于一平面直角坐标系中,顶点 $ A $,$ C $ 分别位于 $ x $ 轴,$ y $ 轴的正半轴上,点 $ B $ 的坐标为 $ (5,6) $,双曲线 $ y = \frac{k}{x}(k \neq 0) $ 在第一象限中的图象经过 $ BC $ 的中点 $ D $,与 $ AB $ 交于点 $ E $,$ P $ 为 $ y $ 轴正半轴上一动点,把 $ \triangle OAP $ 沿直线 $ AP $ 翻折,使点 $ O $ 落在点 $ F $ 处,连接 $ FE $,若 $ FE // x $ 轴,则点 $ P $ 的坐标为 $(0,\frac{5}{3})$。

答案： $(0,\frac{5}{3})$

11. 如图,在平面直角坐标系 $ xOy $ 中,直线 $ y = \frac{1}{2}x + 2 $ 与 $ x $ 轴、$ y $ 轴分别交于 $ F $,$ E $ 两点,与反比例函数 $ y = \frac{k}{x} $ 的图象交于点 $ A(2,b) $ 和点 $ B $。
(1) 求 $ b $ 的值和反比例函数的表达式；
(2) 若点 $ P $ 是反比例函数 $ y = \frac{k}{x}(k ＞ 0) $ 图象上一点,且 $ S_{\triangle EFO} = \frac{1}{2}S_{\triangle EFP} $,求点 $ P $ 的坐标；
(3) 若点 $ M $ 是 $ x $ 轴上的一点,点 $ N $ 为平面中的一点,是否存在点 $ M $,$ N $,使得以 $ A $,$ B $,$ M $,$ N $ 为顶点的四边形是菱形？若存在,请直接写出点 $ N $ 的坐标；若不存在,请说明理由。

答案：
(1) 将点$A(2,b)$代入直线$y=\frac{1}{2}x+2$，得$b=\frac{1}{2}×2+2=3$，故$A(2,3)$。
将$A(2,3)$代入反比例函数$y=\frac{k}{x}$，得$3=\frac{k}{2}$，解得$k=6$。
∴反比例函数表达式为$y=\frac{6}{x}$。
(2) 直线$y=\frac{1}{2}x+2$与$x$轴交于$F(-4,0)$，与$y$轴交于$E(0,2)$，$S_{\triangle EFO}=\frac{1}{2}×4×2=4$。
由$S_{\triangle EFO}=\frac{1}{2}S_{\triangle EFP}$，得$S_{\triangle EFP}=8$。设$P(m,\frac{6}{m})$，直线$EF$：$x-2y+4=0$，点$P$到$EF$的距离$d=\frac{|m-\frac{12}{m}+4|}{\sqrt{5}}=\frac{8}{\sqrt{5}}$，即$|m-\frac{12}{m}+4|=8$。
解得$m=6$或$m=-2$或$m=-6\pm4\sqrt{3}$。
∴$P(6,1)$，$(-2,-3)$，$(-6+4\sqrt{3},3+2\sqrt{3})$，$(-6-4\sqrt{3},3-2\sqrt{3})$。
(3) 存在，点$N$坐标为$(10+\sqrt{71},4)$，$(10-\sqrt{71},4)$，$(2+\sqrt{79},4)$，$(2-\sqrt{79},4)$，$(-6+\sqrt{71},-4)$，$(-6-\sqrt{71},-4)$，$(-\frac{5}{2},2)$。