《2025年学典四川九年级数学全一册北师大版》

1. 下列条件不能判定“矩形 $ABCD$ 是正方形”的是(D)
A.$AB = BC$
B.$AC\perp BD$
C.$AD = CD$
D.$AC = BD$

答案： D

2. 下列可证明菱形 $ABCD$ 是正方形的条件是(A)
A.$AC = BD$
B.$AB = CD$
C.$BC = CD$
D.都不正确

答案： A

3. 如图,正方形 $ABCD$ 的边长为 $8$,在各边上顺次截取 $AE = BF = CG = DH = 5$,则四边形 $EFGH$ 的面积是(B)

A.$30$
B.$34$
C.$36$
D.$40$

答案： B

4. 如图,已知正方形 $ABCD$ 的边长为 $3$,$E$ 为 $CD$ 边上一点,$DE = 1$。以点 $A$ 为旋转中心,把 $\triangle ADE$ 顺时针旋转 $90^{\circ}$,得到 $\triangle ABE'$,连接 $EE'$,则 $EE'$ 的长为$2\sqrt{5}$。

答案： $2\sqrt{5}$

5. 小明用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具,他先活动学具成为图 $1$ 所示的菱形,并测得 $\angle B = 60^{\circ}$,接着活动学具成为图 $2$ 所示的正方形,并测得正方形的对角线 $AC = 40cm$,则图 $1$ 中对角线 $AC$ 的长为$20\sqrt{2}$$cm$。

答案： $20\sqrt{2}$

6. 以正方形 $ABCD$ 的边 $AD$ 为边作等边三角形 $ADE$,则 $\angle BEC$ 的度数是30°或150°。

答案： 30°或150°

7. 如图,在 $\triangle ABC$ 中,$\angle ACB = 90^{\circ}$,$CD$ 平分 $\angle ACB$,$DE\perp AC$ 于 $E$,$DF\perp BC$ 于 $F$,求证：四边形 $CEDF$ 是正方形。

答案： 证明：
∵∠ACB=90°，DE⊥AC，DF⊥BC，
∴∠DEC=∠DFC=∠ACB=90°，
∴四边形CEDF是矩形。
∵CD平分∠ACB，DE⊥AC，DF⊥BC，
∴DE=DF。
∵四边形CEDF是矩形且DE=DF，
∴四边形CEDF是正方形。

8. 如图,四边形 $ABCD$ 的对角线 $AC$,$BD$ 相交于点 $O$,且 $OA = OB = OC = OD = 1$,$AB = \sqrt{2}$。四边形 $ABCD$ 是正方形吗？说明理由。

答案： 四边形ABCD是正方形。理由如下：
1. 因为OA=OC，OB=OD，所以四边形ABCD是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）。
2. 因为AC=OA+OC=2，BD=OB+OD=2，所以AC=BD，故平行四边形ABCD是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）。
3. 在△AOB中，OA=1，OB=1，AB=√2，满足OA²+OB²=1²+1²=2=AB²，由勾股定理逆定理得∠AOB=90°，即AC⊥BD。
4. 矩形ABCD的对角线互相垂直，故四边形ABCD是正方形（对角线互相垂直的矩形是正方形）。
结论：四边形ABCD是正方形。