《2025年学典四川九年级数学全一册北师大版》

1. 已知关于$x的一元二次方程x^{2}= bx - c的解为x_{1}= -1$,$x_{2}= 3$,则二次函数$y = x^{2}-bx + c$的图象的对称轴是(C)
A.直线$x= -1$
B.直线$x = 0$
C.直线$x = 1$
D.直线$x = 2$

答案： C

2. 二次函数$y = x^{2}-2x - 1的图象与x轴有两个交点A(x_{1},0)$,$B(x_{2},0)$,则$x_{1}+x_{2}= $A
A.$2$
B.$-2$
C.$\sqrt{2}$
D.$-\sqrt{2}$

答案： A

3. 如图是二次函数$y = ax^{2}+bx + c$的图象,已知图象上有两点分别为$A(2.18,-0.51)$,$B(2.68,0.54)$,则方程$ax^{2}+bx + c = 0的一个解可能是x= $D( )


A.$2.18$
B.$2.68$
C.$-0.51$
D.$2.45$

答案： D

4. 根据表中的对应值：

判断方程$ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0,a,b,c为常数)$的一个解的取值范围为$2.3 \lt x \lt 2.4$.

答案： $2.3 \lt x \lt 2.4$

5. 若函数$y = mx^{2}-2x + 1的图象与x$轴只有一个交点,则$m = $0或1.

答案： 0或1

6. 如图,抛物线$y = ax^{2}-6ax + 7(a\lt0)交x轴正半轴于点A$,交$y轴于点B$,线段$BP\perp y轴交抛物线于点C$,$PC = \dfrac{2}{5}BP$,则$\triangle ACP$的面积是______14.

答案： 14

7. 已知二次函数$y = x^{2}-4mx + 3m^{2}(m\neq0)$。
(1) 求证：该二次函数的图象与$x$轴总有两个公共点；
(2) 若$m\gt0$,且两交点间的距离为$2$,求$m$的值。

答案：
(1) 证明：
对于二次函数$y = x^{2} - 4mx + 3m^{2}$，其判别式为：
$\Delta = b^{2} - 4ac$
$= (-4m)^{2} - 4(1)(3m^{2})$
$= 16m^{2} - 12m^{2}$
$= 4m^{2}$
由于$m \neq 0$，所以$\Delta = 4m^{2} ＞ 0$。
因此，该二次函数的图象与$x$轴总有两个公共点。
(2) 解：
二次函数$y = x^{2} - 4mx + 3m^{2}$可以因式分解为：
$y = (x - m)(x - 3m)$
令$y = 0$，得到：
$x - m = 0 \Rightarrow x_{1} = m$
$x - 3m = 0 \Rightarrow x_{2} = 3m$
由于$m ＞ 0$，且两交点间的距离为2，所以有：
$3m - m = 2$
$2m = 2$
$m = 1$
故$m$的值为1。

8. 已知抛物线$y = ax^{2}-2ax + c(a\lt0)与x轴交于A$,$B$两点(点$A在点B$左侧),与$y轴交于点C$,$AB = 4$。
(1) 求$3a + c$的值；
(2) 若在该抛物线上到$x轴距离为4$的点恰有三个,求抛物线的表达式。

答案：
(1) $0$；
(2) $y = -x^2 + 2x + 3$