《2025年学典四川九年级数学全一册北师大版》

9. 如图,已知$AB:AD = AC:AE = BC:DE = 3:2$。则：(注：$C_{\triangle ADE}代表\triangle ADE$的周长)
(1)$C_{\triangle ADE}:C_{\triangle ABC}= $2:3；
(2)若$C_{\triangle ABC}-C_{\triangle ADE}= 4$,求$C_{\triangle ABC}$,$C_{\triangle ADE}$的值。
$C_{\triangle ABC}$的值为12，$C_{\triangle ADE}$的值为8。

答案：
(1)
由于$\frac{AB}{AD} = \frac{AC}{AE} = \frac{BC}{DE} = \frac{3}{2}$，根据相似三角形的性质，$\triangle ABC \sim \triangle ADE$，且相似比为$\frac{3}{2}$。
所以，$\frac{C_{\triangle ADE}}{C_{\triangle ABC}} = \frac{2}{3}$。
故答案为$2:3$。
(2)
由（1）知$\frac{C_{\triangle ADE}}{C_{\triangle ABC}} = \frac{2}{3}$，即$C_{\triangle ADE} = \frac{2}{3}C_{\triangle ABC}$。
又$C_{\triangle ABC} - C_{\triangle ADE} = 4$，代入得$C_{\triangle ABC} - \frac{2}{3}C_{\triangle ABC} = 4$，即$\frac{1}{3}C_{\triangle ABC} = 4$。
解得$C_{\triangle ABC} = 12$，$C_{\triangle ADE} = \frac{2}{3} × 12 = 8$。
所以$C_{\triangle ABC}$的值为12，$C_{\triangle ADE}$的值为8。

10. 已知$\frac{y + z}{x}= \frac{z + x}{y}= \frac{x + y}{z}(xyz\neq0)$,则$\frac{x + y + z}{x - y + z}$的值为3或0。

答案： 3或0

11. (1)在$\triangle ABC$中,$D是BC$上一点,若$AB = 15cm$,$AC = 10cm$,且$BD:DC = AB:AC$,$BD - DC = 2cm$,求$BC$的长；
(2)若$k= \frac{a + b - c}{c}= \frac{a - b + c}{b}= \frac{- a + b + c}{a}$,求$k$的值；
(3)已知$\frac{a + b - c}{c}= \frac{a - b + c}{b}= \frac{- a + b + c}{a}$,求$\frac{(a + b)(a + c)(b + c)}{abc}$的值。

答案：
(1)
∵$BD:DC = AB:AC$，$AB = 15cm$，$AC = 10cm$
∴$BD:DC = 15:10 = 3:2$
设$BD = 3x cm$，$DC = 2x cm$
∵$BD - DC = 2cm$
∴$3x - 2x = 2$
解得$x = 2$
∴$BD = 6cm$，$DC = 4cm$
∴$BC = BD + DC = 10cm$
(2)
当$a + b - c\neq0$时
由$\frac{a + b - c}{c} = \frac{a - b + c}{b} = \frac{-a + b + c}{a} = k$
得$a + b - c = kc$，$a - b + c = kb$，$-a + b + c = ka$
三式相加得$a + b + c = k(a + b + c)$
当$a + b + c\neq0$时，$k = 1$
当$a + b + c = 0$时，$a + b = -c$
则$k = \frac{a + b - c}{c} = \frac{-c - c}{c} = -2$
所以$k = 1$或$k = -2$
(3)
当$a + b + c\neq0$时
由$\frac{a + b - c}{c} = \frac{a - b + c}{b} = \frac{-a + b + c}{a} = k$
得$k = 1$
即$\frac{a + b - c}{c} = 1$，$\frac{a - b + c}{b} = 1$，$\frac{-a + b + c}{a} = 1$
∴$a + b = 2c$，$a + c = 2b$，$b + c = 2a$
∴$\frac{(a + b)(a + c)(b + c)}{abc} = \frac{2c×2b×2a}{abc} = 8$
当$a + b + c = 0$时
$a + b = -c$，$a + c = -b$，$b + c = -a$
则$\frac{(a + b)(a + c)(b + c)}{abc} = \frac{(-c)×(-b)×(-a)}{abc} = -1$
综上，$\frac{(a + b)(a + c)(b + c)}{abc}$的值为$8$或$-1$