《2025年学典四川九年级数学全一册北师大版》

1. 如图,在△ABC中,∠ACD = ∠B,若AD = 2,BD = 3,则AC的长为(C)

A.$\sqrt{5}$
B.$\sqrt{6}$
C.$\sqrt{10}$
D.6

答案： C

2. 如图,△ABC中,∠A = 76°,AB = 8,AC = 6.将△ABC沿下列选项中的虚线剪开,剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是(D)

答案： D

3. 已知点D是△ABC的边AC上一点,在下列四个条件中：①∠ABD = ∠C；②∠ADB = ∠ABC；③AC·BD = AB·BC；$④AB^2 = AD·AC,$能使得△ABC与△ADB一定相似的是(B)
A.①②③
B.①②④
C.①③④
D.②③④

答案： B

4. 如图,已知∠A = ∠D,要使△ABC∽△DEF,还需添加一个条件,你添加的条件是∠B=∠DEF.(写一个即可,不添加辅助线和字母)

答案： ∠B=∠DEF（答案不唯一）。

5. 如图,在正方形ABCD中,点E是AB边上一点,且AE = 2BE,连接CE交对角线BD于点F.若AB = 8,则BF的长为2√2.

答案： 2√2

6. 如图,在△ABC中,∠C = 90°,BC = 16cm,AC = 12cm,点P从点B出发,沿BC以2cm/s的速度向点C移动,点Q从点C出发,沿CA以1cm/s的速度向点A移动,若点P,Q分别从点B,C同时出发,设运动时间为ts,当t = $\frac{24}{5}$或$\frac{64}{11}$时,△CPQ与△CBA相似.

答案： $\frac{24}{5}$或$\frac{64}{11}$

7. 如图,在△ABC中,点D,E分别在AB,AC上,且∠BCE + ∠BDE = 180°.
(1)求证：△ADE∽△ACB；
(2)连接BE,CD,求证：△AEB∽△ADC.

答案：
(1)证明：
∵∠BDE + ∠ADE = 180°（平角定义），∠BCE + ∠BDE = 180°（已知），
∴∠ADE = ∠BCE（同角的补角相等）。
∵E在AC上，
∴∠BCE = ∠ACB（公共角的一部分），
∴∠ADE = ∠ACB。
又
∵∠A = ∠A（公共角），
∴△ADE∽△ACB（AA）。
(2)证明：
∵△ADE∽△ACB，
∴AD/AC = AE/AB（相似三角形对应边成比例），
∴AE/AD = AB/AC（比例性质）。
又
∵∠A = ∠A（公共角），
∴△AEB∽△ADC（SAS）。

8. 如图,在□ABCD中,E是AD边上一点(不与点A重合),连接BE交AC于点O.
(1)求证：△AEO∽△CBO；
(2)若E是AD的中点,且AC = 6,求AO的长.

答案：
(1)证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∴∠EAO=∠BCO，∠AEO=∠CBO，
∴△AEO∽△CBO。
(2)解：
∵E是AD的中点，
∴AE=DE=$\frac{1}{2}$AD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，
∴AE=$\frac{1}{2}$BC，即$\frac{AE}{BC}$=$\frac{1}{2}$，
由
(1)知△AEO∽△CBO，
∴$\frac{AO}{CO}$=$\frac{AE}{BC}$=$\frac{1}{2}$，
设AO=x，则CO=2x，
∵AC=AO+CO=6，
∴x+2x=6，
解得x=2，
∴AO=2。