《2025年学典四川九年级数学全一册北师大版》

6. 如图,已知$\triangle ABC$中,$D为AC$上一点,$E为CB$延长线上一点,$BE= AD$,$ED和AB相交于点F$,求证：$EF:FD= AC:BC$。

答案： 证明：过点D作DG//BC，交AB于点G。
∵DG//BC，
∴∠ADG=∠ACB，∠AGD=∠ABC，
∴△ADG∽△ACB（AA），
∴$\frac{AD}{AC}=\frac{DG}{BC}$，即$DG=\frac{AD\cdot BC}{AC}$。
∵DG//BC，且E在CB延长线上，
∴DG//EB，
∴∠E=∠FDG，∠EFB=∠DFG，
∴△EFB∽△DFG（AA），
∴$\frac{EF}{FD}=\frac{EB}{DG}$。
∵BE=AD，即EB=AD，
∴$\frac{EF}{FD}=\frac{AD}{DG}$。
将$DG=\frac{AD\cdot BC}{AC}$代入上式，得$\frac{AD}{DG}=\frac{AD}{\frac{AD\cdot BC}{AC}}=\frac{AC}{BC}$，
∴$\frac{EF}{FD}=\frac{AC}{BC}$，即$EF:FD=AC:BC$。
结论：$EF:FD=AC:BC$。

7. 如图,点$D在\triangle ABC的边AB$上,点$E在\triangle ABC的边BC$的延长线上,连接$DE交边AC于点F$,且$\angle BDF+\angle ACB= 180^{\circ}$。
(1)求证：$AD\cdot AB= AF\cdot AC$；
(2)连接$AE$,若$\frac{AD}{DE}= \frac{BC}{AC}$,求证：$AF\cdot DE= BE\cdot AD$。

答案：
(1)
∵∠BDF + ∠ACB = 180°，∠BDF + ∠ADF = 180°，
∴∠ADF = ∠ACB。
又
∵∠A = ∠A，
∴△ADF∽△ACB（AA）。
∴AD/AC = AF/AB，
∴AD·AB = AF·AC。
(2)
∵∠BDF + ∠ACB = 180°，∠BDF + ∠EDB = 180°，
∴∠EDB = ∠ACB。
∵∠BED + ∠B + ∠EDB = 180°，∠BAC + ∠B + ∠ACB = 180°，
∴∠BED = ∠BAC。
又
∵∠B = ∠B，
∴△BED∽△BAC（AA）。
∴BE/BA = ED/AC，即BE/ED = BA/AC。
由
(1)△ADF∽△ACB得AF/AB = AD/AC，即AF/AD = BA/AC。
∴BE/ED = AF/AD，
∴AF·DE = BE·AD。

8. 在四边形$ABCD$中,$E$,$F分别是AB$,$AD$边上的点,$DE与CF交于点G$。
(1)如图1,若四边形$ABCD$是正方形,且$DE\perp CF$,求证：$DE= CF$；
(2)如图2,若四边形$ABCD$是矩形,且$DE\perp CF$,求证：$\frac{DE}{CF}= \frac{AD}{CD}$；
(3)如图3,若四边形$ABCD$是平行四边形,试探究：当$\angle B与\angle EGF$满足什么关系时,$\frac{DE}{CF}= \frac{AD}{CD}$成立？并证明你的结论。

答案：
(1)证明：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=CD，∠A=∠ADC=90°．
∵DE⊥CF，
∴∠DGC=90°，
∴∠DCF+∠GDC=90°．
∵∠ADE+∠GDC=∠ADC=90°，
∴∠ADE=∠DCF．
在△ADE和△DCF中，
$\left\{\begin{array}{l}∠A=∠ADC\\AD=DC\\∠ADE=∠DCF\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△DCF(ASA)，
∴DE=CF．
(2)证明：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠ADC=90°，AD=BC，AB=CD．
∵DE⊥CF，
∴∠DGF=90°，
∴∠ADE+∠CFD=90°．
∵∠DCF+∠CFD=90°，
∴∠ADE=∠DCF．
∵∠A=∠ADC=90°，
∴△ADE∽△DCF．
∴$\frac{DE}{CF}=\frac{AD}{CD}$．
(3)当∠B+∠EGF=180°时，$\frac{DE}{CF}=\frac{AD}{CD}$成立．
证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=180°-∠B，∠ADC=∠B，AB//CD．
∵∠EGF=∠DGC，∠B+∠EGF=180°，
∴∠DGC=180°-∠B=∠A．
∵AB//CD，
∴∠AED=∠EDC．
在△ADE和△DCF中，
∠A=∠DGC=180°-∠B，∠ADE=∠DCF（已证∠DGC=∠A及三角形内角和推导），
∴△ADE∽△DCF，
∴$\frac{DE}{CF}=\frac{AD}{CD}$．