《2025年学典四川九年级数学全一册北师大版》

1. 方程$x^{2}-2x= 0$的根是(C)
A.$x_{1}= x_{2}= 0$
B.$x_{1}= x_{2}= 2$
C.$x_{1}= 0,x_{2}= 2$
D.$x_{1}= 0,x_{2}= -2$

答案： C

2. 一个矩形的长和宽恰好是方程$x^{2}-4x+3= 0$的两个根,则矩形的周长和面积分别是(C)
A.4和3
B.$4+2\sqrt{3}$和1
C.8和3
D.8和1

答案： C

3. 在正数范围内定义运算“※”：$a※b= a+b^{2}$,则方程$x※(x+1)= 5$的解是(B)
A.$x= 5$
B.$x= 1$
C.$x_{1}= 1,x_{2}= -4$
D.$x_{1}= -1,x_{2}= 4$

答案： B

4. 一个三角形的两边长分别是3cm和2cm,第三边的长为$x$cm,若$x满足x^{2}-3x+2= 0$,则这个三角形的周长为7cm.

答案： 7

5. 已知正比例函数$y= -\frac{5}{13}x$的图象上有一个点M,点M的横坐标是方程$x^{2}+6x-91= 0$的根,则点M的纵坐标为5或$-\frac{35}{13}$.

答案： 5或$-\frac{35}{13}$

6. 若菱形$ABCD$的一条对角线长为8,边$CD的长是方程x^{2}-10x+24= 0$的一个根,则菱形$ABCD$的面积为$16\sqrt{5}$.

答案： $16\sqrt{5}$

7. 用因式分解法解下列方程：
(1)$x^{2}-5x-14= 0$；
(2)$4y^{2}+8y+4= 0$；
(3)$(t-3)(t+4)= -12$；
(4)$x-\frac{x^{2}-1}{2}= -\frac{7}{2}$.

答案：
(1) 解：
原方程为 $x^{2} - 5x - 14 = 0$。
因式分解得：$(x - 7)(x + 2) = 0$。
解得：$x_{1} = 7$，$x_{2} = -2$。
(2) 解：
原方程为 $4y^{2} + 8y + 4 = 0$。
化简得：$y^{2} + 2y + 1 = 0$。
进一步因式分解得：$(y + 1)^{2} = 0$。
解得：$y_{1} = y_{2} = -1$。
(3) 解：
原方程为 $(t - 3)(t + 4) = -12$。
展开并整理得：$t^{2} + t - 12 = -12$。
化简得：$t^{2} + t = 0$。
因式分解得：$t(t + 1) = 0$。
解得：$t_{1} = 0$，$t_{2} = -1$。
(4) 解：
原方程为 $x - \frac{x^{2} - 1}{2} = -\frac{7}{2}$。
两边乘以2得：$2x - x^{2} + 1 = -7$。
整理得：$x^{2} - 2x - 8 = 0$。
因式分解得：$(x - 4)(x + 2) = 0$。
解得：$x_{1} = 4$，$x_{2} = -2$。

8. 用适当的方法解下列方程：
(1)$x^{2}+4x+1= 0$；
(2)$3x^{2}-6x+1= 0$；
(3)$(x-3)^{2}= 2(3-x)$；
(4)$(2x+3)^{2}= (5x-4)^{2}$.

答案： 8.
(1)解：
原方程为：$x^{2} + 4x + 1 = 0$
移项得：$x^{2} + 4x = -1$
配方：$x^{2} + 4x + 4 = 3$
即：$(x + 2)^{2} = 3$
解得：$x + 2 = \pm \sqrt{3}$
所以：$x_{1} = -2 + \sqrt{3}$，$x_{2} = -2 - \sqrt{3}$
(2)解：
原方程为：$3x^{2} - 6x + 1 = 0$
移项并化简得：$x^{2} - 2x = -\frac{1}{3}$
配方：$x^{2} - 2x + 1 = \frac{2}{3}$
即：$(x - 1)^{2} = \frac{2}{3}$
解得：$x - 1 = \pm \frac{\sqrt{6}}{3}$
所以：$x_{1} = 1 + \frac{\sqrt{6}}{3}$，$x_{2} = 1 - \frac{\sqrt{6}}{3}$
(3)解：
原方程为：$(x - 3)^{2} = 2(3 - x)$
移项得：$(x - 3)^{2} - 2(3 - x) = 0$
展开并整理得：$x^{2} - 6x + 9 + 2x - 6 = 0$
即：$x^{2} - 4x + 3 = 0$
因式分解得：$(x - 3)(x - 1) = 0$
解得：$x_{1} = 3$，$x_{2} = 1$
(4)解：
原方程为：$(2x + 3)^{2} = (5x - 4)^{2}$
移项得：$(2x + 3)^{2} - (5x - 4)^{2} = 0$
应用平方差公式得：$[(2x + 3) + (5x - 4)][(2x + 3) - (5x - 4)] = 0$
即：$(7x - 1)(-3x + 7) = 0$
解得：$x_{1} = \frac{1}{7}$，$x_{2} = \frac{7}{3}$