《2025年学典四川九年级数学全一册北师大版》

1. 如图,在△ABC中,∠ACB = 90°,CD⊥AB,DE⊥BC,则与△ABC相似的三角形有(D)

A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

答案： D

2. 如图,P是△ABC的边AC上一点,连接BP,下列条件中,不能判定△ABP∽△ACB的是(B)

A.AB:AP = AC:AB
B.AC:AB = BC:BP
C.∠ABP = ∠C
D.∠APB = ∠ABC

答案： B

3. 如图,在三角形纸片ABC中,AB = 6,BC = 8,AC = 4。沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC相似的是(B)

答案： B

4. 如图,已知△ABC∽△ADB,点D是AC的中点,CD = 2,则AB的长为$2\sqrt{2}$。

答案： $2\sqrt{2}$

5. AD为Rt△ABC斜边BC上的高,已知AB = 5cm,BD = 3cm,那么BC = 25/3cm。

答案： 25/3

6. 如图,在△ABC中,∠ACB = 90°,CD⊥AB于D,AC = 15,DB = 16,则AD的长为9,BC的长为______20。

答案： 9；20

7. 如图,AD是Rt△ABC斜边BC上的高,若AB = 4cm,BC = 10cm,求BD的长。

答案：
∵AD是Rt△ABC斜边BC上的高，
∴∠ADB=∠BAC=90°。
∵∠B=∠B，
∴△ABD∽△CBA。
∴$\frac{BD}{BA}=\frac{BA}{BC}$。
∵AB=4cm，BC=10cm，
∴$\frac{BD}{4}=\frac{4}{10}$。
∴BD=$\frac{16}{10}=1.6$cm。
结论：BD的长为1.6cm。

8. 教材在证明“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”时,利用了转化的数学思想,通过添设辅助线,将未知的判定方法转化为前面已经学过的方法(即已知两角对应相等推得相似或已知平行推得相似)。请利用上述方法完成这个定理的证明。
如图,在△ABC和△DEF中,∠A = ∠D,$\frac{DE}{AB} = \frac{DF}{AC}$(AB ＞ DE)。求证：△ABC∽△DEF。

答案： 证明：在AB上截取AG=DE，在AC上截取AH=DF，连接GH。
∵∠A=∠D，AG=DE，AH=DF，
∴△AGH≌△DEF（SAS）。
∵$\frac{DE}{AB}=\frac{DF}{AC}$，AG=DE，AH=DF，
∴$\frac{AG}{AB}=\frac{AH}{AC}$。
∴GH//BC（如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边）。
∵GH//BC，
∴△AGH∽△ABC（平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似）。
∵△AGH≌△DEF，
∴△DEF∽△ABC。