《2025年学典四川九年级数学全一册北师大版》

9. 如图,已知 $\triangle ABC$ 中,$\angle ACB = 90^{\circ}$,$CD \perp AB$,垂足为点 $D$,已知 $AC = 3$,$BC = 4$。问线段 $AD$,$CD$,$CD$,$BD$ 是不是成比例线段？写出你的理由。

答案： 是成比例线段。理由如下：
在$\triangle ABC$中，$\angle ACB=90^{\circ}$，$AC=3$，$BC=4$，由勾股定理得$AB=\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=5$。
$CD\perp AB$，由三角形面积公式得$AC\cdot BC=AB\cdot CD$，即$3×4=5\cdot CD$，解得$CD=\frac{12}{5}$。
由射影定理得$AC^{2}=AD\cdot AB$，则$AD=\frac{AC^{2}}{AB}=\frac{3^{2}}{5}=\frac{9}{5}$；$BC^{2}=BD\cdot AB$，则$BD=\frac{BC^{2}}{AB}=\frac{4^{2}}{5}=\frac{16}{5}$。
计算$\frac{AD}{CD}=\frac{\frac{9}{5}}{\frac{12}{5}}=\frac{3}{4}$，$\frac{CD}{BD}=\frac{\frac{12}{5}}{\frac{16}{5}}=\frac{3}{4}$，故$\frac{AD}{CD}=\frac{CD}{BD}$，所以线段$AD$，$CD$，$CD$，$BD$成比例。

10. (1)已知三个数 $1$,$\sqrt{2}$,$2$,再添上一个数,使它们能构成一个比例式,那么添上的这个数是$\frac{\sqrt{2}}{2}$或$\sqrt{2}$或$2\sqrt{2}$；
(2)已知线段 $AB = 10$,点 $C$ 是直线 $AB$ 上一点,点 $D$ 为线段 $AC$ 的中点,$\frac{BC}{AC} = \frac{m}{n}$,且 $m$,$n$ 满足 $|m - 3| + 5(m + 2n - 7)^2 = 0$,则线段 $BD$ 的长为$8$或$20$。

答案：
(1)$\frac{\sqrt{2}}{2}$或$\sqrt{2}$或$2\sqrt{2}$；
(2)$8$或$20$

11. 如图,将一张矩形纸片 $ABCD$ 沿直线 $MN$ 折叠,使点 $C$ 落在点 $A$ 处,点 $D$ 落在点 $E$ 处,直线 $MN$ 交 $BC$ 于点 $M$,交 $AD$ 于点 $N$,连接 $CN$。
(1)求证：$CM = CN$；
(2)若 $\triangle CMN$ 的面积与 $\triangle CDN$ 的面积比为 $3:1$,求 $\frac{MN}{DN}$的值。

答案：
(1)见解析；
(2)2√3