《2025年学典四川九年级数学全一册北师大版》

1. 某中学准备建一个面积为$5000m^{2}$的矩形操场,操场的长比宽多$50m$,设操场的长为$xm$,根据题意,则下列方程正确的是(B)
A.$2x(x - 25) = 5000$
B.$x(x - 50) = 5000$
C.$x(x + 50) = 5000$
D.$2x(25 + x) = 5000$

答案： B

2. 一个直角三角形两直角边长的和为$7$,面积为$6$,则它的斜边长为(A)
A.$5$
B.$\sqrt{37}$
C.$7$
D.$3\sqrt{38}$

答案： A

3. 矩形的两邻边长的差为$2$,对角线长为$4$,则矩形的面积为(B)
A.$4$
B.$6$
C.$8$
D.$10$

答案： B

4. 用一条长为$40cm的绳子围成一个面积为64cm^{2}$的矩形. 设矩形的一边长为$xcm$,则可列方程为x(20 - x) = 64.

答案： x(20 - x) = 64

5. 将一个容积为$600cm^{3}$的长方体包装盒剪开、铺平,纸样如图所示,根据题意,列出关于$x$的方程为$x(30 - 2x)(15 - 2x)=600$.

答案： $x(30 - 2x)(15 - 2x)=600$

6. 在应用一元二次方程解决问题时,老师展示出一张矩形纸片,如图所示,在矩形纸片上截去两个同样大小的圆,使两圆的面积和是剩余面积的一半,已知矩形的长和宽分别为$80mm和60mm$,设圆的半径为$xmm$,则可列方程为$2\pi x^{2}=\dfrac{1}{2}(4800 - 2\pi x^{2})$.

答案： $2\pi x^{2}=\dfrac{1}{2}(4800 - 2\pi x^{2})$

7. 如图,某广场有一块长为$100$米,宽为$60$米的矩形空地,政府决定在这块空地上修建一横两纵同样宽的小路方便群众通行,其他部分种植花草供群众欣赏休闲. 若种植花草的空地面积为$4950$平方米,求修建的小路的宽度.

答案： 设小路的宽度为$x$米，则种植花草部分可看作长为$(100 - 2x)$米，宽为$(60 - x)$米的矩形。
根据矩形面积公式$S = 长×宽$，可得方程$(100 - 2x)(60 - x) = 4950$。
展开式子得$6000 - 100x - 120x + 2x^{2} = 4950$。
移项、合并同类项化为一般式为$2x^{2} - 220x + 1050 = 0$，两边同时除以$2$得$x^{2} - 110x + 525 = 0$。
分解因式得$(x - 5)(x - 105) = 0$。
解得$x_{1} = 5$，$x_{2} = 105$。
因为小路宽度不可能超过矩形的长和宽，$105＞60$，所以$x_{2} = 105$不合题意，舍去。
故小路的宽度为$5$米。

8. 如图,在$Rt\triangle ABC$中,$AC = 8cm$,$BC = 6cm$,点$P在BC$上,从点$B运动到点C$,速度为$1cm/s$；点$Q在AC$上,从点$C运动到点A$,速度为$2cm/s$,若点$P$,$Q分别从点B$,$C$同时运动,当$P$,$Q$中一点运动到终点时,两点停止运动,设运动时间为$ts$. 当$t$为何值时,$P$,$Q两点之间的距离为4\sqrt{2}cm$？

答案： $t=2$或$t=\frac{2}{5}$