《2025年学典四川九年级数学全一册北师大版》

9. 三星堆遗址被称为20世纪人类最伟大的考古发现之一,昭示了长江流域与黄河流域一样,同属中华文明的母体,被誉为“长江文明之源”.为更好地传承和宣传三星堆文化,三星堆文创馆一次次打破了自身限定,让文创产品充满创意.已知文创产品“青铜鸟文创水杯”有A,B两个系列,A系列产品比B系列产品的售价低5元,100元购买A系列产品的数量与150元购买B系列产品的数量相等.按定价销售一段时间后发现B系列产品按定价销售,每天可以卖50件,若B系列产品的售价每降1元,则每天可以多卖10件.
(1)A系列产品和B系列产品的单价各是多少？
(2)为了使B系列产品每天的销售额为960元,而且尽可能让顾客得到实惠,则B系列产品的实际售价应定为多少元/件？

答案：
(1)设B系列产品的单价为$x$元，则A系列产品的单价为$(x - 5)$元。根据题意，得$\frac{100}{x - 5} = \frac{150}{x}$，解得$x = 15$。经检验，$x = 15$是原方程的解，且符合题意。则$x - 5 = 10$。答：A系列产品单价10元，B系列产品单价15元。
(2)设B系列产品降价$m$元，实际售价为$(15 - m)$元，销量为$(50 + 10m)$件。根据销售额公式，得$(15 - m)(50 + 10m) = 960$，整理得$m^2 - 10m + 21 = 0$，解得$m_1 = 7$，$m_2 = 3$。为让顾客实惠，取$m = 7$，实际售价$15 - 7 = 8$元。答：B系列产品实际售价应定为8元/件。

10. 今年我国旅游火爆,五一假期,某景区第一天游客数量为a万人,第二天游客数量比第一天增长200%,第三天在第二天的基础上回落25%,则第二天和第三天这两天游客数量的平均增长率为50%.

答案： $50\%$

11. 某茶庄以400元/kg的价格收购一批毛峰,物价部门规定销售单价不低于成本且不得超过成本的130%,经试销发现,日销量y(kg)与销售单价x(元/kg)满足一次函数关系,部分对应数据如表：

(1)根据表格中提供的数据,求y关于x的函数关系式；
(2)在销售过程中,每日还需支付其他费用7000元,当销售单价为多少时,该茶庄日利润为1000元？

答案：
(1)设$y$关于$x$的函数关系式为$y = kx + b$。
把$x = 400$，$y = 100$和$x = 600$，$y = 60$代入$y = kx + b$，得$\begin{cases}400k + b = 100\\600k + b = 60\end{cases}$
两式相减得：$200k=-40$，解得$k = - 0.2$。
把$k = - 0.2$代入$400k + b = 100$，得$400×(-0.2)+b = 100$，$-80 + b = 100$，$b = 180$。
所以$y$关于$x$的函数关系式为$y = - 0.2x + 180$。
(2)已知成本为$400$元/kg，销售单价为$x$元/kg，日销量$y = - 0.2x + 180$，其他费用$7000$元，日利润为$1000$元。
根据利润公式：$(销售单价 - 成本单价)×日销量 - 其他费用 = 日利润$，可列方程$(x - 400)( - 0.2x + 180) - 7000 = 1000$。
展开式子得：$-0.2x^{2}+180x + 80x - 72000 - 7000 = 1000$。
整理得：$-0.2x^{2}+260x - 79000 - 1000 = 0$，即$-0.2x^{2}+260x - 80000 = 0$，两边同时除以$-0.2$得$x^{2}-1300x + 400000 = 0$。
因式分解得$(x - 500)(x - 800) = 0$，解得$x_1 = 500$，$x_2 = 800$。
因为物价部门规定销售单价不超过成本的$130\%$，即$x\leqslant400×130\% = 520$，而$800＞520$，所以舍去$x_2 = 800$。
所以当销售单价为$500$元/kg时，该茶庄日利润为$1000$元。