《2025年学典四川九年级数学全一册北师大版》

9. 如图,抛物线 $ y = 2(x - 2)^2 $ 与平行于 $ x $ 轴的直线交于点 $ A $,$ B $,抛物线顶点为 $ C $,连接 $ AC $,$ BC $,已知 $ \triangle ABC $ 为等边三角形,求：
(1) 点 $ B $ 的坐标；
(2) $ \triangle ABC $ 的面积。

答案：
(1) 抛物线 $ y = 2(x - 2)^2 $ 的顶点 $ C $ 坐标为 $ (2, 0) $。设平行于 $ x $ 轴的直线为 $ y = m $（$ m ＞ 0 $），联立 $ \begin{cases} y = 2(x - 2)^2 \\ y = m \end{cases} $，得 $ 2(x - 2)^2 = m $，解得 $ x = 2 \pm \sqrt{\frac{m}{2}} $。故 $ A\left(2 - \sqrt{\frac{m}{2}}, m\right) $，$ B\left(2 + \sqrt{\frac{m}{2}}, m\right) $。
$ AB $ 长度为 $ 2\sqrt{\frac{m}{2}} = \sqrt{2m} $，$ AC $ 长度为 $ \sqrt{\left(\sqrt{\frac{m}{2}}\right)^2 + m^2} = \sqrt{m^2 + \frac{m}{2}} $。因 $ \triangle ABC $ 为等边三角形，故 $ AB = AC $，即 $ \sqrt{2m} = \sqrt{m^2 + \frac{m}{2}} $，平方得 $ 2m = m^2 + \frac{m}{2} $，解得 $ m = \frac{3}{2} $（$ m = 0 $ 舍去）。
则 $ B $ 点横坐标为 $ 2 + \sqrt{\frac{3/2}{2}} = 2 + \frac{\sqrt{3}}{2} $，纵坐标为 $ \frac{3}{2} $，故 $ B\left(2 + \frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{3}{2}\right) $。
(2) $ AB = \sqrt{2m} = \sqrt{2 × \frac{3}{2}} = \sqrt{3} $，$ \triangle ABC $ 面积为 $ \frac{\sqrt{3}}{4} × (\sqrt{3})^2 = \frac{3\sqrt{3}}{4} $。
(1) $ \left(2 + \frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{3}{2}\right) $
(2) $ \frac{3\sqrt{3}}{4} $

10. 已知二次函数 $ y = ax^2 + bx + c(a \neq 0) $ 的图象如图所示,给出下列结论：① $ abc ＞ 0 $；② $ b ＜ a + c $；③ $ 4a + 2b + c ＞ 0 $；④ $ 2c ＜ 3b $；⑤ $ a + b ＞ m(am + b)(m \neq 1) $。其中正确的结论有③⑤。(填序号)

答案： ③⑤

11. 如图,抛物线 $ y = \frac{1}{2}x^2 - \frac{3}{2}x - 2 $ 与 $ x $ 轴交于 $ A $,$ B $ 两点(点 $ A $ 在点 $ B $ 的左侧),与 $ y $ 轴交于点 $ C $,$ M $ 是直线 $ BC $ 下方的抛物线上一动点。
(1) 求 $ A $,$ B $,$ C $ 三点的坐标；
(2) 连接 $ MO $,$ MC $,并把 $ \triangle MOC $ 沿 $ CO $ 翻折,得到四边形 $ MOM'C $,那么是否存在点 $ M $,使四边形 $ MOM'C $ 为菱形？若存在,求出此时点 $ M $ 的坐标；若不存在,请说明理由。

答案：
(1) $ A(-1,0) $，$ B(4,0) $，$ C(0,-2) $；
(2) 存在，$ M\left( \frac{3 + \sqrt{17}}{2}, -1 \right) $。