《2025年学典四川九年级数学全一册北师大版》

9. 如图,是一个由长方体和圆柱组合而成的几何体,长方体的宽与圆柱底面圆的直径相等,圆柱的高是长方体的高的$2$倍。
(1)画出该几何体的主视图和左视图；
(2)若长方体的长为$10cm$,宽为$4cm$,高为$3cm$,求该几何体的表面积和体积。($\pi取3$)

答案：
(1)
主视图：下方是一个长为$10cm$，高为$3cm$的长方形，上方是一个直径为$4cm$，高为$6cm$的长方形（两长方形上下底边重合部分不画线）。
左视图：下方是一个长为$4cm$，高为$3cm$的长方形，上方是一个直径为$4cm$，高为$6cm$的长方形（两长方形上下底边重合部分不画线）。
(2)
表面积：
长方体表面积$S_1 = 2×(10×4 + 10×3 + 4×3)=2×(40 + 30 + 12)=2×82 = 164cm^2$。
圆柱侧面积$S_2 = 2\pi rh=2×3×\frac{4}{2}×6 = 72cm^2$。
圆柱一个底面积$S_3=\pi r^2 = 3×(\frac{4}{2})^2 = 12cm^2$。
组合体表面积$S = S_1+S_2 - 2S_3+S_3=164 + 72-12=224cm^2$。
体积：
长方体体积$V_1 = 10×4×3 = 120cm^3$。
圆柱体积$V_2=\pi r^2h = 3×(\frac{4}{2})^2×6 = 72cm^3$。
组合体体积$V = V_1+V_2=120 + 72 = 192cm^3$。
综上，该几何体表面积为$224cm^2$，体积为$192cm^3$。

10. 如图,小阳发现电线杆$AB的影子落在土坡的坡面CD和地面BC$上,量得$CD = 8$米,$BC = 20$米,$CD与地面成30^{\circ}$角,且此时测得$1米杆的影长为2$米,则电线杆$AB$的高度为$14 + 2\sqrt{3}$米。

答案： $14 + 2\sqrt{3}$

11. 如图,墙壁$D$处有一盏灯,小明站在$A处测得他的影长OA与身高AE$相等,都为$1.6m$,小明向墙壁走$1m到B处发现影子刚好落在A$处,求灯泡与地面的距离。

答案： 设灯泡与地面的距离为$h\,m$，小明在$A$处时，$AC = m\,m$（$C$为墙壁底部）。
第一步：利用相似三角形列方程（小明在$A$处）
小明在$A$处，身高$AE = 1.6\,m$，影长$OA = 1.6\,m$。
由于$AE \perp OC$，$DC \perp OC$，则$\triangle OAE \sim \triangle OCD$（公共角$\angle O$，直角）。
由相似比得：$\frac{AE}{DC} = \frac{OA}{OC}$。
$OC = OA + AC = 1.6 + m$，代入得：$\frac{1.6}{h} = \frac{1.6}{1.6 + m}$，化简得$h = 1.6 + m$。①
第二步：利用相似三角形列方程（小明在$B$处）
小明向墙壁走$1\,m$到$B$处，$AB = 1\,m$，影子落在$A$处，影长$BA = 1\,m$。
此时身高$BF = 1.6\,m$，$BF \perp AC$，则$\triangle ABF \sim \triangle ACD$（公共角$\angle A$，直角）。
由相似比得：$\frac{BF}{DC} = \frac{AB}{AC}$。
代入得：$\frac{1.6}{h} = \frac{1}{m}$，化简得$h = 1.6m$。②
第三步：联立方程求解
联立①②：$1.6m = 1.6 + m$，解得$m = \frac{8}{3}$。
代入②：$h = 1.6 × \frac{8}{3} = \frac{64}{15}$。
$\frac{64}{15}\,m$