《2025年学典四川九年级数学全一册北师大版》

9. 如图,在正方形 $ABCD$ 中,$AB = 24cm$。点 $E$ 从点 $C$ 出发沿 $CD$ 边以 $1cm/s$ 的速度向点 $D$ 运动,同时点 $F$ 从点 $C$ 出发沿 $CB$ 边以 $2cm/s$ 的速度向点 $B$ 运动,当点 $F$ 到达点 $B$ 时,点 $E$ 也随之停止运动,连接 $EF$。问：在 $AB$ 边上是否存在一点 $G$,使得在某一时刻 $\triangle BFG$ 与 $\triangle CEF$ 全等？若存在,求出 $BG$ 的长；若不存在,请说明理由。

答案： 存在，$ BG = 6 \, cm $或$ 16 \, cm $。

10. 如图,正方形 $ABCD$ 的边长是 $8$,点 $E$ 是 $BC$ 边的中点,连接 $DE$,点 $F$ 是线段 $DE$ 上的一个动点,连接 $BF$,点 $G$ 是线段 $BF$ 的中点,连接 $AG$,则线段 $AG$ 长的最小值为______4√2。

答案： 4√2

11. 如图,矩形 $ABCD$ 中,$AB = 6$,$BC = 10$,动点 $P$ 从点 $B$ 出发,以每秒 $2$ 个单位的速度沿线段 $BC$ 向终点 $C$ 运动。设点 $P$ 运动的时间为 $t$ 秒。
(1) $CP= $______$10 - 2t$；(用含 $t$ 的代数式表示)
(2) 当 $\triangle APD$ 是以 $AD$ 为腰的等腰三角形时,求 $t$ 的值；
分两种情况：
情况一：$AD = AP$。$AD = 10$，$AP = \sqrt{(2t)^2 + 6^2}$，则$\sqrt{4t^2 + 36} = 10$，解得$t = 4$（$t = -4$舍去）。
情况二：$AD = DP$。$DP = \sqrt{(10 - 2t)^2 + 6^2}$，则$\sqrt{(10 - 2t)^2 + 36} = 10$，解得$t = 1$（$t = 9$舍去）。
综上，$t = 1$或$t = 4$。
(3) 另有一动点 $Q$ 从点 $C$ 出发以每秒 $m$ 个单位的速度沿射线 $CD$ 运动,当点 $P$ 停止运动时,点 $Q$ 也随之停止运动,点 $P$ 与点 $Q$ 同时开始运动。若存在某一时刻,使 $\triangle PCQ$ 或 $\triangle PAQ$ 与 $\triangle ABP$ 全等,请直接写出 $m$ 与对应 $t$ 的值。
$\begin{cases} m=2, t=2 \\ m=\dfrac{12}{5}, t=\dfrac{5}{2} \\ m=\dfrac{6}{5}, t=5 \end{cases}$

答案：
(1) $10 - 2t$
(2) 分两种情况：
情况一：$AD = AP$。$AD = 10$，$AP = \sqrt{(2t)^2 + 6^2}$，则$\sqrt{4t^2 + 36} = 10$，解得$t = 4$（$t = -4$舍去）。
情况二：$AD = DP$。$DP = \sqrt{(10 - 2t)^2 + 6^2}$，则$\sqrt{(10 - 2t)^2 + 36} = 10$，解得$t = 1$（$t = 9$舍去）。
综上，$t = 1$或$t = 4$。
(3) $\begin{cases} m=2, t=2 \\ m=\dfrac{12}{5}, t=\dfrac{5}{2} \\ m=\dfrac{6}{5}, t=5 \end{cases}$