《2025年学典四川九年级数学全一册北师大版》

9. 如图,在 $ Rt \triangle ABC $ 中,$ \angle ACB = 90^{\circ} $,$ CD \perp AB $,垂足为 $ D $,$ AC = 4 $,$ BC = 3 $。
(1) 求 $ BD $ 的长；
(2) 求 $ \angle ACD $ 的正切值。

答案：
(1)在$Rt\triangle ABC$中，$\angle ACB=90^{\circ}$，$AC=4$，$BC=3$，由勾股定理得$AB=\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}=\sqrt{4^{2}+3^{2}}=5$。
因为$CD\perp AB$，所以$\triangle ABC\sim\triangle CBD$（公共角$\angle B$，直角相等），则$\frac{BC}{AB}=\frac{BD}{BC}$，即$BC^{2}=AB\cdot BD$。
故$BD=\frac{BC^{2}}{AB}=\frac{3^{2}}{5}=\frac{9}{5}$。
(2)因为$\angle ACB=90^{\circ}$，$CD\perp AB$，所以$\angle ACD+\angle BCD=90^{\circ}$，$\angle B+\angle BCD=90^{\circ}$，则$\angle ACD=\angle B$。
在$Rt\triangle ABC$中，$\tan\angle B=\frac{AC}{BC}=\frac{4}{3}$，故$\tan\angle ACD=\tan\angle B=\frac{4}{3}$。
(1)$\frac{9}{5}$；
(2)$\frac{4}{3}$

10. 如图,标号为①,②,③,④的四个直角三角形和标号为⑤的正方形恰好拼成对角互补的四边形 $ ABCD $,相邻图形之间互不重叠也无缝隙,①和②分别是等腰直角三角形 $ ABE $ 和等腰直角三角形 $ BCF $,③和④分别是 $ Rt \triangle CDG $ 和 $ Rt \triangle DAH $,⑤是正方形 $ EFGH $,直角顶点 $ E $,$ F $,$ G $,$ H $ 分别在边 $ BF $,$ CG $,$ DH $,$ AE $ 上。若 $ \dfrac{DG}{GH} = \dfrac{5}{4} $,则 $ \tan \angle DAH $ 的值是 3。

答案： 3

11. 如图,在 $ Rt \triangle ABC $ 中,$ \angle C = 90^{\circ} $,$ AC = BC = 6 $,$ D $ 是 $ AC $ 上的一点,$ \tan \angle DBA = \dfrac{1}{5} $,求 $ AD $ 的长。

答案： 解：设 $ AD = x $，则 $ DC = 6 - x $。
过点 $ D $ 作 $ DE \perp AB $ 于点 $ E $。
在 $ Rt\triangle ABC $ 中，$ AC = BC = 6 $，$ \angle C = 90^\circ $，
$\therefore \angle BAC = 45^\circ $，$ AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{6^2 + 6^2} = 6\sqrt{2} $。
在 $ Rt\triangle ADE $ 中，$ \angle DAE = 45^\circ $，设 $ DE = AE = k $，则 $ AD = \sqrt{AE^2 + DE^2} = \sqrt{k^2 + k^2} = \sqrt{2}k $，即 $ x = \sqrt{2}k $。
在 $ Rt\triangle DEB $ 中，$ \tan\angle DBA = \frac{DE}{EB} = \frac{1}{5} $，$\therefore EB = 5DE = 5k $。
$\because AB = AE + EB $，$\therefore 6\sqrt{2} = k + 5k = 6k $，解得 $ k = \sqrt{2} $。
$\therefore AD = \sqrt{2}k = \sqrt{2} × \sqrt{2} = 2 $。
答：$ AD $ 的长为 $ 2 $。