《2025年学典四川九年级数学全一册北师大版》

8. 如图,点 $ A $ 在 $ x $ 轴的负半轴上,点 $ C $ 在反比例函数 $ y = \frac{k}{x}(x ＞ 0) $ 的图象上,$ AC $ 交 $ y $ 轴于点 $ B $,若点 $ B $ 是 $ AC $ 的中点,$ \triangle AOB $ 的面积为 $ \frac{5}{2} $,求 $ k $ 的值,

答案： 10

9. 如图,在平面直角坐标系 $ xOy $ 中,直线 $ AB $ 与 $ x $ 轴交于点 $ A(-2, 0) $,与反比例函数在第一象限内的图象交于点 $ B(2, n) $,连接 $ BO $,若 $ S_{\triangle AOB} = 4 $,
(1) 求反比例函数和直线 $ AB $ 的表达式；
(2) 若直线 $ AB $ 与 $ y $ 轴的交点为 $ C $,求 $ \triangle OCB $ 的面积,

答案：
(1)
由$S_{\triangle AOB} = \frac{1}{2}× OA× y_B$，$OA = 2$，$y_B = n$，且$S_{\triangle AOB}=4$，可得$\frac{1}{2}×2× n = 4$，解得$n = 4$，所以$B(2,4)$。
设反比例函数表达式为$y=\frac{k}{x}$，把$B(2,4)$代入得$4=\frac{k}{2}$，解得$k = 8$，所以反比例函数表达式为$y=\frac{8}{x}$。
设直线$AB$表达式为$y=mx+b$，把$A(-2,0)$，$B(2,4)$代入得$\begin{cases}-2m + b = 0\\2m + b = 4\end{cases}$，两式相减得$4m = 4$，解得$m = 1$，把$m = 1$代入$-2m + b = 0$得$b = 2$，所以直线$AB$表达式为$y=x + 2$。
(2)
在直线$y=x + 2$中，令$x = 0$，得$y = 2$，所以$C(0,2)$，则$OC = 2$。
$S_{\triangle OCB}=\frac{1}{2}× OC× x_B=\frac{1}{2}×2×2 = 2$。

10. 如图,在反比例函数 $ y = \frac{12}{x}(x ＞ 0) $ 的图象上,有一系列点 $ A_1 $,$ A_2 $,$ A_3 $,…,$ A_n $,$ A_{n + 1} $,若点 $ A_1 $ 的横坐标为 $ 2 $,以后每个点的横坐标与它前一个点的横坐标的差都为 $ 2 $,过点 $ A_1 $,$ A_2 $,$ A_3 $,…,$ A_n $,$ A_{n + 1} $ 分别作 $ x $ 轴与 $ y $ 轴的垂线段,构成若干个矩形,将图中阴影部分面积从左到右依次记为 $ S_1 $,$ S_2 $,$ S_3 $,…,$ S_n $,则 $ S_1 = $6,$ S_1 + S_2 + S_3 + … + S_n = $$\frac{12n}{n+1}$,

答案： 6；$\frac{12n}{n+1}$

11. 如图,在平面直角坐标系中,$ OA \perp OB $,$ AB \perp x $ 轴于点 $ C $,点 $ A(\sqrt{3}, 1) $ 在反比例函数 $ y = \frac{k}{x} $ 的图象上,
(1) 求反比例函数的表达式；
(2) 在 $ x $ 轴的负半轴上存在一点 $ P $,使得 $ S_{\triangle AOP} = \frac{1}{2}S_{\triangle AOB} $,求点 $ P $ 的坐标,

答案：
(1) $ y = \frac{\sqrt{3}}{x} $；
(2) $ (-2\sqrt{3}, 0) $。