《2025年学典四川九年级数学全一册北师大版》

9. 在一次数学兴趣小组活动中,李燕和刘凯两位同学设计了如图所示的两个转盘做游戏(每个转盘被分成面积相等的几个扇形,并在每个扇形区域内标上数)。游戏规则如下：两人分别同时转动甲、乙转盘,转盘停止后,若指针所指区域内两数之和小于12,则李燕获胜；若指针所指区域内两数之和等于12,则为平局；若指针所指区域内两数之和大于12,则刘凯获胜。(若指针停在等分线上,则重转一次,直到指针指向某一区域为止)
(1)请用列表或画树状图的方法表示出上述游戏中两数之和的所有可能的结果；
(2)分别求出李燕和刘凯获胜的概率。

答案：
(1) 列表如下：
| 甲 \ 乙 | 6 | 7 | 8 | 9 |
|---------|-----|-----|-----|-----|
| 3 | 9 | 10 | 11 | 12 |
| 4 | 10 | 11 | 12 | 13 |
| 5 | 11 | 12 | 13 | 14 |
两数之和的所有可能结果为：9,10,11,12,10,11,12,13,11,12,13,14。
(2) 总共有12种等可能结果。
李燕获胜（和＜12）的结果有：9,10,11,10,11,11，共6种，
概率为：$\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$。
刘凯获胜（和＞12）的结果有：13,13,14，共3种，
概率为：$\frac{3}{12}=\frac{1}{4}$。
答：李燕获胜的概率为$\frac{1}{2}$，刘凯获胜的概率为$\frac{1}{4}$。

10. 将一枚六个面编号分别为1,2,3,4,5,6的质地均匀的正方体骰子先后投掷两次,记第一次掷出的点数为a,第二次掷出的点数为b,则使关于x,y的方程组$\begin{cases}ax + by = 2\\2x + y = 3\end{cases} $只有正数解的概率为$\frac{1}{6}$。

答案： 1. 首先解方程组$\begin{cases}ax + by = 2\\2x + y = 3\end{cases}$：
由$2x + y = 3$得$y = 3 - 2x$，将其代入$ax+by = 2$中，得到$ax + b(3 - 2x)=2$。
展开式子：$ax+3b - 2bx = 2$，即$(a - 2b)x=2 - 3b$，所以$x=\frac{2 - 3b}{a - 2b}$，$y = 3-2x=3 - 2×\frac{2 - 3b}{a - 2b}=\frac{3(a - 2b)-2(2 - 3b)}{a - 2b}=\frac{3a-6b - 4 + 6b}{a - 2b}=\frac{3a - 4}{a - 2b}$。
2. 然后根据$x\gt0$，$y\gt0$分情况讨论：
情况一：$\begin{cases}2 - 3b\gt0\\a - 2b\gt0\\3a - 4\gt0\end{cases}$
解$2 - 3b\gt0$得$b\lt\frac{2}{3}$，因为$b\in\{1,2,3,4,5,6\}$，所以此情况无解。
情况二：$\begin{cases}2 - 3b\lt0\\a - 2b\lt0\\3a - 4\lt0\end{cases}$
解$2 - 3b\lt0$得$b\gt\frac{2}{3}$；解$a - 2b\lt0$得$a\lt2b$；解$3a - 4\lt0$得$a\lt\frac{4}{3}$，因为$a\in\{1,2,3,4,5,6\}$，所以此情况无解。
情况三：$\begin{cases}2 - 3b\gt0\\a - 2b\lt0\\3a - 4\lt0\end{cases}$
解$2 - 3b\gt0$得$b\lt\frac{2}{3}$，因为$b\in\{1,2,3,4,5,6\}$，所以此情况无解。
情况四：$\begin{cases}2 - 3b\lt0\\a - 2b\gt0\\3a - 4\gt0\end{cases}$
解$2 - 3b\lt0$得$b\gt\frac{2}{3}$；解$a - 2b\gt0$得$a\gt2b$；解$3a - 4\gt0$得$a\gt\frac{4}{3}$。
因为$a,b\in\{1,2,3,4,5,6\}$：
当$b = 1$时，$a\gt2$，则$a = 3,4,5,6$。
当$b = 2$时，$a\gt4$，则$a = 5,6$。
当$b\geq3$时，$a\gt2b\geq6$（$a\leq6$），此时无解。
3. 最后计算概率：
投掷两次骰子，总的情况数$n = 6×6=36$种。
满足条件的情况数$m=4 + 2=6$种。
根据古典概型概率公式$P=\frac{m}{n}$，可得$P=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}$。
故答案为$\frac{1}{6}$。

11. 我们定义一个关于实数a,b的新运算,规定$a※b = 4a - 3b$。例如：$5※6 = 4×5 - 3×6$。若整数m满足$m※5 ＜ 0$,且$m※(-4)\geq0$,求m的值使关于x的分式方程$\frac{1 - mx}{1 - x} - 1 = \frac{m^2 - 1}{x - 1}$的解为非负整数的概率。

答案： $\frac{3}{7}$