《2025年学典四川九年级数学全一册北师大版》

1. 如图,正方形 $ABCD$ 的边 $AB$ 上有一动点 $E$,以 $EC$ 为边作矩形 $ECFG$,且边 $FG$ 过点 $D$。在点 $E$ 从点 $A$ 移动到点 $B$ 的过程中,矩形 $ECFG$ 的面积(D)

A.先变大后变小
B.先变小后变大
C.一直变大
D.保持不变

答案： D

2. 如图,正方形 $ABCD$ 的面积为 $64$,$\triangle ABE$ 是等边三角形,点 $E$ 在正方形 $ABCD$ 内,点 $P$ 在对角线 $AC$ 上,连接 $PD$,$PE$,则 $PD + PE$ 的最小值为(B)

A.$6$
B.$8$
C.$9$
D.$12$

答案： B

3. 如图,在菱形 $ABCD$ 中,$AC = 6\sqrt{2}$,$BD = 6$,$E$ 是 $BC$ 边的中点,$P$,$M$ 分别是 $AC$,$AB$ 上的动点,连接 $PE$,$PM$,则 $PE + PM$ 的最小值是(C)

A.$6$
B.$3\sqrt{3}$
C.$2\sqrt{6}$
D.$4.5$

答案： C

4. 菱形 $OBCD$ 在平面直角坐标系中的位置如图所示,已知顶点 $B(2,0)$,$\angle DOB = 60^{\circ}$,点 $E$ 的坐标为 $(0,-\sqrt{3})$,点 $P$ 是对角线 $OC$ 上一个动点,连接 $EP$,$BP$,则 $EP + BP$ 的最小值是√13。

答案： √13

5. 如图,在长方形 $ABCD$ 中,$AB = 6$,$AD = 10$,延长 $BC$ 至点 $E$,使 $CE = 4$,连接 $DE$,动点 $F$ 从点 $B$ 出发,以每秒 $2$ 个单位长度的速度沿 $BC - CD - DA$ 向终点 $A$ 运动,设点 $F$ 的运动时间为 $t$ 秒,当 $t$ 的值为______时,$\triangle ABF$ 和 $\triangle DCE$ 全等。

2或11

答案： 2或11

6. 如图,在菱形 $ABCD$ 中,$\angle B = 120^{\circ}$,$AB = 2\sqrt{3}$,点 $M$ 是 $BC$ 的中点,连接 $AM$,点 $N$ 为线段 $AM$ 上的一个动点,连接 $DN$,则线段 $DN$ 长度的最小值为______$\frac{6\sqrt{7}}{7}$。

答案： 6√7/7

7. 如图,在 $\triangle ABC$ 中,$AB = 3$,$AC = 4$,$BC = 5$,$P$ 为边 $BC$ 上一动点,$PE \perp AB$ 于 $E$,$PF \perp AC$ 于 $F$,$M$ 为 $EF$ 的中点,求 $AM$ 长度的最小值。

答案： $\boxed{\frac{6}{5}}$

8. 如图,在矩形 $ABCD$ 中,$AB = 4$,$AD = 3$,$P$ 为矩形内部一动点,且 $S_{\triangle PAB} = \frac{1}{3}S_{矩形ABCD}$,求 $PA + PB$ 的最小值。

答案： 1. 计算矩形面积：$S_{矩形ABCD}=AB× AD=4×3=12$。
2. 由$S_{\triangle PAB}=\frac{1}{3}S_{矩形ABCD}$，得$S_{\triangle PAB}=4$。
3. 设$P$到$AB$距离为$h$，则$S_{\triangle PAB}=\frac{1}{2}× AB× h=\frac{1}{2}×4× h=2h=4$，解得$h=2$，故$P$在矩形内与$AB$平行且距离为2的直线上（轨迹为$y=2$，以$A(0,0)$，$B(4,0)$，$D(0,3)$，$C(4,3)$建立坐标系）。
4. 作$A$关于直线$y=2$的对称点$A'(0,4)$，连接$A'B$交直线$y=2$于$P$，此时$PA+PB$最小，最小值为$A'B$的长。
5. 计算$A'B$：$A'(0,4)$，$B(4,0)$，$A'B=\sqrt{(4-0)^2+(0-4)^2}=\sqrt{32}=4\sqrt{2}$。
结论：$PA + PB$的最小值为$4\sqrt{2}$。