《2025年学典四川九年级数学全一册北师大版》

1. 两个相似多边形的相似比是 $2:3$,则这两个多边形的周长比是(D)
A.$4:9$
B.$\sqrt{2}:\sqrt{3}$
C.$2:5$
D.$2:3$

答案： D

2. 如果两个相似三角形的面积比是 $1:4$,那么它们的周长比是(D)
A.$1:16$
B.$1:4$
C.$1:6$
D.$1:2$

答案： D

3. 将一个三角形改成与它相似的三角形,如果面积扩大为原来的 $9$ 倍,那么周长扩大为原来的(A)
A.$3$ 倍
B.$9$ 倍
C.$18$ 倍
D.$81$ 倍

答案： A

4. 如果两个相似三角形对应高分别是 $2\mathrm{cm}$,$3\mathrm{cm}$,那么这两个相似三角形的面积比是4:9。

答案： 4:9

5. 某校有两块相似的多边形草坪,其相似比为 $3:2$,其中较大的一块草坪的周长是 $36$ 米,则另一块草坪的周长是24米。

答案： 24

6. 将一副三角板按如图所示的方法叠放,则 $S_{\triangle AOC}:S_{\triangle DOB}= $______$\frac{1}{3}$。

答案： $\frac{1}{3}$

7. (1)已知 $\triangle ABC\backsim\triangle A'B'C'$,它们的周长之差为 $20$,面积比为 $4:1$,求 $\triangle ABC$ 和 $\triangle A'B'C'$ 的周长；
(2)如图,在平面直角坐标系 $xOy$ 中,直线 $y = 2x + 4$ 与 $x$ 轴、$y$ 轴分别相交于点 $A$,$B$,点 $C$ 的坐标为 $(6,4)$,连接 $AC$,$BC$,点 $E$ 在 $x$ 轴上,若 $\triangle ABC$ 和 $\triangle ACE$ 相似,求点 $E$ 的坐标。

答案：
(1) $40$，$20$；
(2) $(4,0)$或$\left(\frac{34}{3},0\right)$。

8. 如图,$AB$ 与 $CD$ 相交于点 $O$,$BD// AC$,$\frac{OD}{OC}= \frac{3}{5}$,$OB = 6$,$S_{\triangle AOC} = 50$。
(1)求 $AO$ 的长；
(2)求 $S_{\triangle BOD}$ 的值。

答案：
(1)
因为$BD// AC$，根据平行线分线段成比例定理，可得$\frac{OD}{OC}=\frac{OB}{OA}$。
已知$\frac{OD}{OC}=\frac{3}{5}$，$OB = 6$，则$\frac{6}{OA}=\frac{3}{5}$。
交叉相乘得$3OA=6×5$，即$3OA = 30$，解得$AO = 10$。
(2)
因为$BD// AC$，所以$\triangle BOD\sim\triangle COA$（两角分别相等的两个三角形相似）。
相似三角形面积比等于相似比的平方，相似比$\frac{OD}{OC}=\frac{3}{5}$，则$\frac{S_{\triangle BOD}}{S_{\triangle AOC}}=(\frac{OD}{OC})^2$。
已知$S_{\triangle AOC}=50$，所以$\frac{S_{\triangle BOD}}{50}=(\frac{3}{5})^2=\frac{9}{25}$。
则$S_{\triangle BOD}=50×\frac{9}{25}=18$。
综上，
(1)$AO$的长为$10$；
(2)$S_{\triangle BOD}$的值为$18$。